Encontre a solução geral para a equação de Laplace em coordenadas esféricas, para o caso em que V depende somente de r . Faça o mesmo para as coordenadas cilíndricas, assumindo que V depende apenas de s

Passo 1

Faaala, família! Bora resolver essa. Primeiramente, a equação de Laplace em coordenadas esféricas para o potencial V depedendendo apenas de r , será:

∇ 2 V = 1 r 2 d d r r 2 d V d r = 0

Dessa expressão, como temos que a derivada de r 2 d V d r = 0 , podemos deduzir que:

r 2 d V d r = c   ( c o n s t a n t e )

Rearrumando a equação, teremos:

d V d r = c r 2

Integrando os dois lados da equação:

V =   - c r + k

Passo 2

Fazendo agora para coordenadas cilíndricas, o potencial de uma esfera uniformemente carregada, será, pela Equação de Laplace:

∇ 2 V = 1 s d d s   s d V d s = 0

Dessa equação, podemos deduzir que:

s d V d s = c

Rearrumando:

d V d s = c s

Integrando os dois lados da equação:

V = c ln ⁡ s + k

E aqui se encerra a questão, galera! Até a próxima 😉

Resposta

V =   - c r + k

V = c ln ⁡ s + k