Encontre todos os elementos do tensor das tensões das Maxwell para uma onda plana monocromática viajando na direção z e linearmente polarizada na direção x (Equação 9.48). A sua resposta faz sentido? (Lembre-se de que - T ⃡ representa a densidade de fluxo de momento.) Como a densidade de fluxo de momento relaciona coma densidade de energia neste caso?

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Em primeiro lugar, os campos magnético e elétrico do exemplo são:

B → = E 0 c cos ⁡ ( k z - ω t ) y ^

E → = E 0 cos ⁡ ( k z - ω t ) x ^

E a fórmula geral de Maxwell para o tensor das tensões é:

T i j = ϵ 0 E i E j - δ i j E 2 2 + 1 μ 0 B i B j - δ i j B 2 2

O que precisamos fazer agora, é encontrar os valores de T i j e simplificarmos com duas igualdades que definiremos abaixo. Bora finalizando a questão!!!

Passo 2

As igualdades que são usadas neste exercício são: ϵ 0 μ 0 = 1 / c 2 e B 0 = E 0 / c .

Encontrando todos os elementos do tensor das tensões.

T x x = ϵ 0 E x 2 - E 2 2 - 1 2 μ 0 B 2

T x x = ϵ 0 2 E 2 - ϵ 0 2 E 2

T x x = 0

T x y = T z y = T x z = 0

T y y = - ϵ 0 2 E 2 + 1 μ 0 B y 2 - B 2 2

T y y = - ϵ 0 2 E 2 - 1 2 μ 0 B 2

T y y = 0

T z z = - ϵ 0 2 E 2 - 1 2 μ 0 B 2

T z z = - ϵ 0 E 2

T z z = - ϵ 0 E 0 2 cos 2 ⁡ k z - ω t

Passo 3

O que encontramos em - T z z é o fluxo de momento na direção z sobre o elemento de superfície unitária ao longo do eixo z . Portanto, - T z z tem que ser igual a densidade de energia em z , que é definida por:

g z c = c ϵ 0 E → × B → z = c ϵ 0 E 0 2 c cos 2 ⁡ ( k z - ω t )

Resposta

T x y = T z y = T x z = T x x = T y y = 0

T z z = - ϵ 0 E 0 2 cos 2 ⁡ k z - ω t