A equação de Clausius-Mossotti (Problema 4.38) lhe diz como calcular a suscetibilidade de uma substância não polar, em termos da polarizabilidade atômica . A equação de Langevin lhe diz como calcular a suscetibilidade de uma substância polar, em termos de momento de dipolo molecular permanente . Eis como funciona:
a) A energia de um dipolo em um campo externo é (Equação 4.6); seu alcance =e de a , dependendo da direção. A mecânica estatística diz que para um material em equilíbrio a uma temperatura absoluta , a probabilidade de uma dada molécula ter energia é proporcional ao fator de Boltzmann.
A energia média dos dipolos é, portanto,
Onde as integrais vão de a . Use isso para mostrar que a polarização de uma substância contendo moléculas por unidade de volume é
Essa é a fórmula de Langevin. Desenhe como uma função de .
b) Observe que para campos grandes/temperaturas baixas, virtualmente todas as moléculas estão alinhadas e o material é não linear. Normalmente, no entanto, é muito maior que . Mostre que nesse regime, o material é linear, e calcule sua suscetibilidade, em termos de . Calcule a suscetibilidade da água a , e compare ao valor experimental da Tabela 4.2. (O momento de dipolo da água é ). A discrepância é grande porque mais uma vez negligenciamos a distinção entre e . A concordância é melhor em gases de baixa densidade, para os quais a diferença entre e é desprezível. Experimente para o vapor d’água a e .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Levando em conta que para e (por integração por partes) temos que:
Com isso, nós obtemos o seguinte resultado
Agora, nós podemos calcular de para como
Desenvolvendo os termos, nós temos que
Um pouco mais... (hehe)
Transformando essas exponenciais em senos e cossenos hiperbólicos, nós temos que
Finalmente, nós temos que
Passo 2
Levando em conta que
Desenvolvendo um pouco mais,
Nós temos que , e com isso
Fazendo alguns algebrismos,
Substituindo o
E finalmente,
Esta equação pode ser escrita como
Ou simplesmente
Onde e .
Passo 3
B - Levando em conta que , nós podemos dizer que
Neste caso, podemos fazer uma expansão em série de em torno de
Podemos tirar o e colocar em evidência
Com isso,
Usando uma aproximação linear, nós temos que
Em outras palavras (ou fórmulas...)
Finalmente, podemos dizer que a suscetibilidade pode ser aproximada em ordem linear por
Passo 4
C - Notamos que . Além disso, temos que . Nesse caso
Onde é a constante de Avogrado, é a massa molar e é a densidade para a água, portanto,
Usando este resultado para a suscetibilidade
Usando a tabela e a equação 3.34, temos
Estes resultados são diferentes (a aproximação linear não deve ser considerada). Podemos considerar que o vapor de água como um gás ideal para o qual
Fazendo a substituição,
Neste cálculo, nós usamos que e , então
Usando a tabela para vapor de água
Neste caso, a aproximação linear dá bons resultados.
Resposta
Respondido acima!