A equação de Clausius-Mossotti (Problema 4.38) lhe diz como calcular a suscetibilidade de uma substância não polar, em termos da polarizabilidade atômica α . A equação de Langevin lhe diz como calcular a suscetibilidade de uma substância polar, em termos de momento de dipolo molecular permanente p . Eis como funciona:

a) A energia de um dipolo em um campo externo E é u = - p ∙ E (Equação 4.6); seu alcance =e de - p E a + p E , dependendo da direção. A mecânica estatística diz que para um material em equilíbrio a uma temperatura absoluta T , a probabilidade de uma dada molécula ter energia u é proporcional ao fator de Boltzmann.

exp ⁡ - u k T

A energia média dos dipolos é, portanto,

< u >   = ∫ u e - u k T   d u ∫ e - u k T   d u

Onde as integrais vão de - p E a + p E . Use isso para mostrar que a polarização de uma substância contendo N moléculas por unidade de volume é

P = N p coth ⁡ p E k T - k T p E ;  

Essa é a fórmula de Langevin. Desenhe P N p como uma função de p E k T .

b) Observe que para campos grandes/temperaturas baixas, virtualmente todas as moléculas estão alinhadas e o material é não linear. Normalmente, no entanto, k T é muito maior que p E . Mostre que nesse regime, o material é linear, e calcule sua suscetibilidade, em termos de N ,   p , T   e   k . Calcule a suscetibilidade da água a 20 °   C , e compare ao valor experimental da Tabela 4.2. (O momento de dipolo da água é 6,1 × 10 - 30   C ∙ m ). A discrepância é grande porque mais uma vez negligenciamos a distinção entre E e E d o s   o u t r o s . A concordância é melhor em gases de baixa densidade, para os quais a diferença entre E e E d o s   o u t r o s é desprezível. Experimente para o vapor d’água a 100 °   C e 1   a t m .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Levando em conta que para u = x e d v = e - α x   d u   (por integração por partes) temos que:

∫ x e - α x   d x = - 1 α x e - α x + 1 α ∫ e - α x   d x

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

∫ x e - α x   d x = - e - α x α 2 1 + α x

Agora, nós podemos calcular < u > de - p E para p E como

< u >   = ∫ - p E p E u e - α u   d u ∫ - p E p E e - α u   d u = - e α u α 2 1 + α u - p E p E - e α u α - p E p E

Desenvolvendo os termos, nós temos que

< u >   = 1 α e p E 1 + α p E - e - p E 1 - α p E p E

Um pouco mais... (hehe)

< u >   = 1 α e p E - e - p E - α p E e p E + e - p E e p E - e - p E

Transformando essas exponenciais em senos e cossenos hiperbólicos, nós temos que

< u >   = 1 k T senh ⁡ p E k T - 1 k T p E cosh ⁡ p E k T senh ⁡ p E k T

Finalmente, nós temos que

< u >   = k T - p E coth ⁡ p E k T

Passo 2

Levando em conta que

p = p cos ⁡ θ E E = p E cos ⁡ θ E E 2

Desenvolvendo um pouco mais,

p = P ∙ E E E 2 = - u E E 2

Nós temos que p = - u 1 E , e com isso

P = N p = N - u 1 E

Fazendo alguns algebrismos,

P = - N u 1 E = - N E u

Substituindo o u

P = - N E k T - p E coth ⁡ p E k T

E finalmente,

P = N p coth ⁡ p E k T - k T p E

Esta equação pode ser escrita como

P N p = coth ⁡ p E k T - p E k T

Ou simplesmente

y = coth ⁡ x - 1 x

Onde y = P N p e x = p E k T .

Passo 3

B - Levando em conta que k T ≫ p E , nós podemos dizer que

x = k T p E ≪ 1

Neste caso, podemos fazer uma expansão em série de coth ⁡ ( x )   em torno de x = 0

coth ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x = 1 + x 2 2 + x 4 24 + … x + x 3 6 + …

Podemos tirar o 1 x e colocar em evidência

coth ⁡ x = 1 x 1 + x 2 2 + x 4 24 + … 1 + x 2 6 + … = 1 x 1 + x 2 2 + x 4 24 + … 1 - x 2 6 + x 4 36 + …

Com isso,

coth ⁡ x = 1 x 1 + x 2 3 - x 4 45 + … = 1 x + x 3 - x 3 45 + …  

Usando uma aproximação linear, nós temos que

y = 1 x + x 3 - 1 x = x 3

Em outras palavras (ou fórmulas...)

p N p = p E 3 k T

Finalmente, podemos dizer que a suscetibilidade pode ser aproximada em ordem linear por

χ e = P ϵ 0 E = p 2 E N 3 k ϵ 0 E T = N p 2 3 ϵ 0 k T

Passo 4

C - Notamos que T = 20 °   C = 293   K . Além disso, temos que p = 6,1 × 10 - 30   c m . Nesse caso

N = ρ M N A

Onde N A = 6,02 × 10 23   é a constante de Avogrado, M = 18,05   g / m o l   é a massa molar e ρ = 0,9982   g / c m 3 é a densidade para a água, portanto,

N = 0,9982 18,015 6,022   c m - 3 × 10 23 = 0,3333675 × 10 29   m - 3

Usando este resultado para a suscetibilidade

χ e = 0,333675 × 10 29 6,1 × 10 - 30 2 3 8,8542 × 10 - 12 1,380649 × 10 - 23 293 = 11,5548

Usando a tabela e a equação 3.34, temos

χ e = ϵ r - 1 = 80,1 - 1 = 79,1

Estes resultados são diferentes (a aproximação linear não deve ser considerada). Podemos considerar que o vapor de água como um gás ideal para o qual

N = P k T

Fazendo a substituição,

N = 101325 ( 1,38 × 10 - 23 ) ( 373 ) = 1,97 × 10 25

Neste cálculo, nós usamos que 100 °   C = 373   K e 1   a t m = 101325   P a , então

χ e = 1,94 × 10 25 6,1 × 10 - 30 2 3 8,854 × 10 - 2 1,381 × 10 - 8 373 = 0,00535207

Usando a tabela para vapor de água

χ e = ϵ r - 1 = 1,0058701 = 0,00587

Neste caso, a aproximação linear dá bons resultados.

Resposta

Respondido acima!