A – Escreva uma expressão para a densidade volumétrica de carga elétrica ρ ( r ) de uma carga pontual q em r ' . Certifique-se de que a integral de volume de ρ seja igual a q .

B – Qual é a densidade volumétrica de carga de um dipolo elétrico que consiste de uma carga pontual - q na origem e de uma carga pontual + q em a ?

C – Qual é a densidade volumétrica de carga de uma casca esférica uniforme infinitesimalmente fina, de raio R e carga total Q , centrada na origem? [Atenção: a integral sobre todo o espaço deve ser igual a Q .]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga elétrica ρ ( r ) de uma carga pontual q em r ' . Para fazer isso, precisamos usar a função delta de Dirac, onde a carga pontual está localizada em r ' , então a função delta de Dirac é

δ 3 r - r '

Uma vez que precisamos que a carga seja q , devemos multiplicar por q (uma vez que a função delta tem um valor de 1 em r ' ). Portanto, nossa expressão deve ser,

ρ r = q δ 3 r - r '

Agora precisamos ter certeza de que a integral de volume da densidade de carga é igual à carga total, ou seja,

∫ ρ r   d τ = q ∫ δ 3 ( r - r " )   d τ

Que será igual a

∫ ρ r   d τ = q

Passo 2

B - Agora precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga de um dipolo elétrico, consistindo em uma carga pontual - q na origem e uma carga pontual + q em a . Usando a função delta de Dirac e seguindo o mesmo método da parte (a), podemos descobrir que a densidade de carga para a carga positiva em a é

q δ 3 r - a

e a densidade de carga para a carga negativa na origem é - q δ 3 ( r ) . A densidade de carga total é, portanto,

ρ r = q δ 3 r - a - q δ 3 ( r )

Passo 3

C - Finalmente, precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga de uma casca esférica uniforme, infinitesimalmente fina, de raio R e carga total Q , centrada na origem. A densidade de carga é proporcional a,

ρ r ∝ δ r - R

Com isso,

ρ r = A δ r - R

A constante A depende do raio da casca e da carga total. A integral da densidade de carga sobre o volume deve dar a carga total, ou seja

Q = ∫ ρ   d τ = ∫ A δ r - R 4 π r 2   d r = 4 A π R 2

Isolando o termo A

A = Q 4 π R 2

Então, com isso, obtemos que

ρ r = Q 4 π R 2 δ r - R

Resposta

a )   ρ r = q δ 3 r - r '

b )   ρ r = q δ 3 r - a - q δ 3 ( r )

c )   ρ r = Q 4 π R 2 δ r - R