A – Escreva uma expressão para a densidade volumétrica de carga elétrica de uma carga pontual em . Certifique-se de que a integral de volume de seja igual a .
B – Qual é a densidade volumétrica de carga de um dipolo elétrico que consiste de uma carga pontual na origem e de uma carga pontual em ?
C – Qual é a densidade volumétrica de carga de uma casca esférica uniforme infinitesimalmente fina, de raio e carga total , centrada na origem? [Atenção: a integral sobre todo o espaço deve ser igual a .]
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga elétrica de uma carga pontual em . Para fazer isso, precisamos usar a função delta de Dirac, onde a carga pontual está localizada em , então a função delta de Dirac é
Uma vez que precisamos que a carga seja , devemos multiplicar por (uma vez que a função delta tem um valor de 1 em ). Portanto, nossa expressão deve ser,
Agora precisamos ter certeza de que a integral de volume da densidade de carga é igual à carga total, ou seja,
Que será igual a
Passo 2
B - Agora precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga de um dipolo elétrico, consistindo em uma carga pontual na origem e uma carga pontual em . Usando a função delta de Dirac e seguindo o mesmo método da parte (a), podemos descobrir que a densidade de carga para a carga positiva em é
e a densidade de carga para a carga negativa na origem é . A densidade de carga total é, portanto,
Passo 3
C - Finalmente, precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga de uma casca esférica uniforme, infinitesimalmente fina, de raio e carga total , centrada na origem. A densidade de carga é proporcional a,
Com isso,
A constante depende do raio da casca e da carga total. A integral da densidade de carga sobre o volume deve dar a carga total, ou seja
Isolando o termo
Então, com isso, obtemos que