Ao escrever as Equações 9.76 e 9.77, assumi tacitamente que as ondas refletidas e transmitidas têm a mesma polarização da onda incidente – ao longo da direção x . Prove que isso tem de ser assim. [Dica: deixe que os vetores de polarização das ondas transmitida e refletida sejam

n ^ r = cos ⁡ θ T x ^ + s e n   θ r   y ^ , n ^ R = cos ⁡ θ R x ^ + s e n   θ R   y ^

E prove a partir das condições de contorno que θ T = θ R = 0 . ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Antes de começarmos a resolver essa questão, temos que saber que a incidente, a refletida e a transmitida são dadas pelas seguintes equações:

E → I = E 0 I e i ( k 1 x - ω t ) n ^ I

E → R = E 0 R e i ( - k 1 x - ω t ) n ^ R

E → T = E 0 T e i ( k 2 x - ω t ) n ^ T

B → I = E 0 I v 1 e i ( k 1 x - ω t ) k ^ × n ^ I

B → R = E 0 R v 1 e i - k 1 x - ω t ( - k ^ × n ^ R )

B → T = E 0 T v 2 e i ( k 2 x - ω t ) k ^ × n ^ T

Agora, temos que desenvolver algumas considerações e mostrar que as ondas refletida e transmitida tem a polarização na mesma direção que a incidente. Bora lá!!!

Passo 2

Pela condição E → 1 , | | = E → 2 , | | no ponto x = 0 :

                                              E 0 I n ^ I + E 0 R n ^ R = E 0 T n ^ T                                       ( 1 )

Pela segunda condição de contorno 1 μ 1 B → 1 , | | = 1 μ 2 B → 2 , | |   , de novo no ponto x = 0 .

1 μ 1 v 1 E 0 I k ^ × n ^ I + E 0 R - k ^ × n ^ R = 1 μ 2 v 2 E 0 T ( k ^ × n ^ T )

1 μ 1 v 1 E 0 I n ^ I - E 0 R n ^ R = 1 μ 2 v 2 E 0 T n ^ T

Substituindo a equação (1), na equação acima:

1 μ 1 v 1 E 0 I n ^ I - E 0 R n ^ R = 1 μ 2 v 2 E 0 I n ^ I + E 0 R n ^ R

n ^ R = E 0 I E 0 R 1 - β 1 + β n ^ I

Como a razão das amplitudes é real (elas têm um deslocamento de fase de π ou 0 dependendo do material 1 e 2), isso significa que os vetores unitários são colineares. Portanto, a onda refletida é polarizada na mesma direção que a incidente.

Passo 3

Colocando o último resultado na equação (1), podemos obter a mesma relação para o vetor unitário transmitido e incidente.

n ^ T = E 0 I E 0 T 2 1 + β n ^ I

De novo os vetores são colineares. Sendo assim, tanto a refletida quanto a transmitida tem a polarização na mesma direção que a onda incidente.

Resposta

n ^ R = E 0 I E 0 R 1 - β 1 + β n ^ I

n ^ T = E 0 I E 0 T 2 1 + β n ^ I