Uma esfera condutora sem carga, de raio a , é revestida com uma casca isolante espessa (de constante dielétrica ϵ r ) até um raio b . Este objeto é agora colocado em um campo elétrico E → 0 , que inicialmente é uniforme. Encontre o campo elétrico no isolante.

Passo 1

E aí, galera! Bora lá para mais uma questão? Bora!

Bom, para encontrar o campo elétrico dentro do isolante, precisamos do potencial elétrico dentro do isolante. Vamos começar escrevendo as condições de fronteira:

( i )   V f o r a = V c a s c a   ( r = b )

( i i )   ϵ r ∂ V c a s c a ∂ r = ϵ 0 ∂ V f o r a ∂ r     ( r = b )

( i i i )   V c a s c a = V d e n t r o = 0   ( r = a )

( i v ) :   V f o r a → - E 0 r c o s θ     ( r ≫ R )

Dentro da esfera o potencial tem que ser nulo porque ela é revestida por um material isolante. Então, V d e n t r o = 0     ( r < a ) . Para entender a condição ( i v ) , você pode dar uma olhadinha no Exemplo 3.8 do livro.

Fora da esfera, devemos ter aquela contribuição do potencial elétrico que a gente já sabe do capítulo 3:

∑ l = 0 ∞ B l r l + 1 P l ( c o s θ )

Além disso, por causa da condição ( i v ) :   V f o r a → - E 0 r c o s θ     ( r ≫ R ) e já que não conseguimos reproduzir essa contribuição usando B l r l + 1 P l ( c o s θ ) , então devemos ter

V f o r a = - E 0 r c o s θ + ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1 P l ( c o s θ )       ( r > b )

Assim, quando r ≫ R , ou seja, quando r → ∞ , temos 1 r l + 1 → 0 e ficamos com   V f o r a → - E 0 r c o s θ .

Como na casca isolante não temos r → 0 e nem r → ∞ , então podemos ter contribuições tanto do tipo B l r l + 1 quanto do tipo A l r l :

V c a s c a = ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( c o s θ ) + ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1 P l ( c o s θ ) = ∑ l = 0 ∞ A l r l + B _ l r l + 1 P l ( c o s θ )     ( a < r < b )

Aqui, nós usamos B _ l porque não necessariamente esses coeficientes vão ser iguais aos B l do potencial fora.

Passo 2

Resumindo o que temos até o momento.

Condições de fronteira:

( i )   V f o r a = V c a s c a   ( r = b )

( i i )   ϵ ∂ V c a s c a ∂ r = ϵ 0 ∂ V f o r a ∂ r     ( r = b )

( i i i )   V c a s c a = V d e n t r o = 0   ( r = a )

( i v ) :   V f o r a → - E 0 r c o s θ     ( r ≫ R )

Potenciais:

V d e n t r o = 0     ( r < a )

V c a s c a = ∑ l = 0 ∞ A l r l + B _ l r l + 1 P l ( c o s θ )     ( a < r < b )

V f o r a = - E 0 r c o s θ + ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1 P l ( c o s θ )       ( r > b )

Beleza, agora podemos usar as condições de fronteira. Vamos começar com a condição ( i i i ) :

( i i i )   V c a s c a = V d e n t r o = 0   ( r = a )

⇒ ∑ l = 0 ∞ A l a l + B _ l a l + 1 P l ( c o s θ ) =     0 ⇒ B l _ = - a 2 l + 1 A l

⇒ V c a s c a = ∑ l = 0 ∞ r l - a 2 l + 1 r l + 1 A l P l ( c o s θ )     ( a < r < b )

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira condição:

( i )   V f o r a = V c a s c a   ( r = b ) ⇒ - E 0 b c o s θ + ∑ l = 0 ∞ B l b l + 1 P l ( c o s θ ) = ∑ l = 0 ∞ b l - a 2 l + 1 b l + 1 A l P l ( c o s θ )  

Para l = 1 , temos P 1 ( c o s θ ) = c o s θ . Então, pegando só os termos proporcionais a c o s θ , temos:

- E 0 b c o s θ + B 1 b 1 + 1 c o s θ = b 1 - a 2 + 1 b 1 + 1 A 1 c o s θ ⇒ B 1 - E 0 b 3 = A 1 b 3 - a 3 A 1

Para l ≠ 1 , o termo - E 0 b c o s θ não contribui. Então, igualando só os termos proporcionais a P l ( c o s θ ) , temos

B l b l + 1 = b l - a 2 l + 1 b l + 1 A l ⇒ B l = b 2 l + 1 - a 2 l + 1 A l

Vamos reservar esses resultados, por enquanto.

Passo 4

Usando a segunda condição, obtemos:

( i i )   ϵ r ∂ V c a s c a ∂ r = ϵ 0 ∂ V f o r a ∂ r     ( r = b )

⇒   ϵ ∑ l = 0 ∞ l r l - 1 + ( l + 1 ) a 2 l + 1 r l + 2 A l P l ( c o s θ )     r = b =   ϵ 0 - E 0 c o s θ - ∑ l = 0 ∞ ( l + 1 ) B l r l + 2 P l ( c o s θ )     r = b

⇒   ϵ ∑ l = 0 ∞ l b l - 1 + ( l + 1 ) a 2 l + 1 b l + 2 A l P l ( c o s θ )     =   ϵ 0 - E 0 c o s θ - ∑ l = 0 ∞ ( l + 1 ) B l b l + 2 P l ( c o s θ )    

Para l = 1 , temos P 1 ( c o s θ ) = c o s θ . Então, pegando só os termos proporcionais a c o s θ , temos:

  ϵ b 0 + 2 a 2 + 1 b 1 + 2 A 1 c o s θ     =   ϵ 0 - E 0 c o s θ - 2 B 1 b 1 + 2 c o s θ  

⇒ - 2 B 1 - E 0 b 3 = ϵ ϵ 0 b 3 + 2 a 3 A 1

⇒ - 2 B 1 - E 0 b 3 = ϵ r b 3 + 2 a 3 A 1

Para l ≠ 1 , o termo - E 0 b c o s θ não contribui. Então, igualando só os termos proporcionais a P l ( c o s θ ) , temos

  ϵ l b l - 1 + ( l + 1 ) a 2 l + 1 b l + 2 A l     = -   ϵ 0 ( l + 1 ) B l b l + 2    

⇒   ϵ 0 ( l + 1 ) B l = -   ϵ l b 2 l + 1 + ( l + 1 ) a 2 l + 1 A l

⇒ B l = -   ϵ ϵ 0 l l + 1 b 2 l + 1 + a 2 l + 1 A l = -   ϵ r l l + 1 b 2 l + 1 + a 2 l + 1 A l

Passo 5

Nos passos 3 e 4 nós conseguimos as condições

B l = b 2 l + 1 - a 2 l + 1 A l

B l = -   ϵ r l l + 1 b 2 l + 1 + a 2 l + 1 A l

Só tem um jeito dessas igualdades serem simultaneamente verdadeiras B l = A l = 0   ( l ≠ 1 ) . Para l = 1 , temos

B 1 - E 0 b 3 = A 1 b 3 - a 3 A 1

- 2 B 1 - E 0 b 3 = ϵ r b 3 + 2 a 3 A 1

Multiplicando a primeira equação por 2 e somando as duas, obtemos

- 3 E 0 b 3 = 2 A 1 b 3 - 2 a 3 A 1 + ϵ r b 3 + 2 a 3 A 1 = A 1 [ ( 2 b 3 - a 3 ) + ϵ r ( b 3 + 2 a 3 ) ]

⇒ A 1 = - 3 E 0 ( 2 - a 3 / b 3 ) + ϵ r ( 1 + 2 a 3 / b 3 )

Finalmente, obtemos (lembrando que só ficamos com a contribuição de l = 1 ):

V c a s c a = - 3 E 0 ( 2 - a 3 / b 3 ) + ϵ r ( 1 + 2 a 3 / b 3 ) r - a 3 r 2 c o s θ    

Com isso, vemos que o campo elétrico no isolante é dado por

E → ( r , θ ) = - ∇ V c a s c a = 3 E 0 ( 2 - a 3 / b 3 ) + ϵ r ( 1 + 2 a 3 / b 3 ) 1 + 2 a 3 r 3 c o s θ r ^ - 1 - a 3 r 3 s e n θ θ ^    

onde usamos a definição de gradiente em coordenadas esféricas: ∇ V = ∂ V ∂ r r ^ + 1 r ∂ V ∂ θ θ ^ .

Resposta

E → ( r , θ ) = 3 E 0 ( 2 - a 3 / b 3 ) + ϵ r ( 1 + 2 a 3 / b 3 ) 1 + 2 a 3 r 3 c o s θ r ^ - 1 - a 3 r 3 s e n θ θ ^