Uma esfera condutora sem carga, de raio , é revestida com uma casca isolante espessa (de constante dielétrica ) até um raio . Este objeto é agora colocado em um campo elétrico , que inicialmente é uniforme. Encontre o campo elétrico no isolante.
Passo 1
E aí, galera! Bora lá para mais uma questão? Bora!
Bom, para encontrar o campo elétrico dentro do isolante, precisamos do potencial elétrico dentro do isolante. Vamos começar escrevendo as condições de fronteira:
Dentro da esfera o potencial tem que ser nulo porque ela é revestida por um material isolante. Então, . Para entender a condição , você pode dar uma olhadinha no Exemplo 3.8 do livro.
Fora da esfera, devemos ter aquela contribuição do potencial elétrico que a gente já sabe do capítulo 3:
Além disso, por causa da condição e já que não conseguimos reproduzir essa contribuição usando , então devemos ter
Assim, quando , ou seja, quando , temos e ficamos com .
Como na casca isolante não temos e nem , então podemos ter contribuições tanto do tipo quanto do tipo :
Aqui, nós usamos porque não necessariamente esses coeficientes vão ser iguais aos do potencial fora.
Passo 2
Resumindo o que temos até o momento.
Condições de fronteira:
Potenciais:
Beleza, agora podemos usar as condições de fronteira. Vamos começar com a condição :
Passo 3
Agora, vamos usar a primeira condição:
Para , temos . Então, pegando só os termos proporcionais a , temos:
Para , o termo não contribui. Então, igualando só os termos proporcionais a , temos
Vamos reservar esses resultados, por enquanto.
Passo 4
Usando a segunda condição, obtemos:
Para , temos . Então, pegando só os termos proporcionais a , temos:
Para , o termo não contribui. Então, igualando só os termos proporcionais a , temos
Passo 5
Nos passos 3 e 4 nós conseguimos as condições
Só tem um jeito dessas igualdades serem simultaneamente verdadeiras . Para , temos
Multiplicando a primeira equação por e somando as duas, obtemos
Finalmente, obtemos (lembrando que só ficamos com a contribuição de ):
Com isso, vemos que o campo elétrico no isolante é dado por
onde usamos a definição de gradiente em coordenadas esféricas: .