Uma esfera de material magnético linear é colocada em um campo magnético B 0 que inicialmente é uniforme. Encontre o novo campo dentro da esfera. [Dica: veja o Problema 6.15 ou o Problema 4.23.]

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora pra mais uma. Aqui vamos seguir o método utilizado no problema 6.15:

Para um r grande o suficiente, vamos querer que B ( r , θ ) tenda a B 0 = B 0 z ^ , logo H = 1 μ 0 B

Tenderá a H = 1 μ 0 B 0 z ^ . Com isso, o potencial escalar W , tenderá a W →   - 1 μ 0   B 0 z =   - 1 μ 0 B 0 r c o s   θ .

As expressões para os potenciais escalares dentro e fora da esfera, serão:

W d e n t r o r , θ =   ∑ A l r l P l cos ⁡ θ ,                                                                                       p a r a   r < R W f o r a r , θ =   - 1 μ 0 B 0 r c o s   θ +   ∑ B l r l + 1 P l cos ⁡ θ ,                         p a r a   r > R

A condições de contorne serão:

1 ª   →     W d e n t r o R , θ = W f o r a R , θ , 2 ª     →   - μ 0 ∂ W f o r a ∂ r ​ R + μ ∂ W d e n t r o ∂ r ​ R = 0

Passo 2

Agora, de acordo com a seguinte relação:

B a c i m a - B a b a i x o = 0

Teremos que:

μ 0 [ 1 μ 0 B 0 cos ⁡ θ + ∑ l + 1 B l R l + 2 P l ( cos ⁡ θ ) ] + μ ∑ l A l R l - 1 P l cos ⁡ θ =   0

Com isso:

Para l ≠ 1 , teremos:

B l = R 2 l + 1 A l

E então:

μ 0 l + 1 + μ l A l R l - 1 = 0

Logo:

A l = 0

Agora, para l = 1 , teremos:

A l R =   - 1 μ 0 B 0 R + B 1 R 2

E também:

B 0 + 2 μ 0 B 1 R 3 + μ A 1 = 0

E então:

A 1 =   - 3 B 0 ( 2 μ 0 + μ )

Passo 3

E finalmente, combinando os resultados do passo anterior com as equações para os potenciais escalares definidas inicialmente, teremos:

W d e n t r o r , θ =   - 3 B 0 2 μ 0 + μ r c o s   θ =   - 3 B 0 z ( 2 μ 0 + μ )

E como:

H = - ∇ W d e n t r o = 3 B 0 2 μ 0 + μ z ^ = 3 B 0 ( 2 μ 0 + μ )

E com isso podemos determinar:

B = μ H = 3 μ B 0 ( 2 μ 0 + μ ) = 1 + χ m 1 + χ m 3 B 0

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima, família.

Resposta

B = 1 + χ m 1 + χ m 3 B 0