Uma esfera de raio R , centrada na origem, tem a densidade de carga

ρ r , θ = k R r 2   R - 2 r   s e n   θ     ,

Onde k é uma constante e r , θ são as coordenadas esféricas usuais. Encontre o potencial aproximado para pontos do eixo z distantes de esfera.

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora pra mais uma. Inicialmente, vamos calcular a contribuição do monopolo:

Q = ∫ ρ   d τ = k R ∫ 1 r 2 R - 2 r s e n   θ r 2 s e n   θ d r d θ d ϕ

Integrando primeiramente em relação a r , teremos:

∫ 0 R R - 2 r   d r = [ ( R r - r 2 ) ] ​ 0 R = R 2 - R 2 = 0

Logo Q = 0 .

A contribuição do dipolo é dada pela seguinte expressão:

Q = ∫ ρ   d τ = r c o s   θ ρ   d τ   = k R ∫ r c o s   θ 1 r 2 R - 2 r s e n   θ r 2 s e n θ d r d θ d ϕ

Integrando em relação a θ , teremos:

∫ 0 π s e n 2 θ c o s θ d θ = s e n 3 θ   3 0 π = 1 3 0 - 0 = 0

Portanto, a contribuição do dipolo também é zero.

A contribuição do quadripolo será dada por:

Q = ∫ ρ   d τ = ∫ r 2 3 2 cos 2 ⁡ θ - 1 2 ρ   d τ

Q = 1 2 k R ∫ r 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 1 r 2 R - 2 r s e n θ r 2 s e n   θ d r d θ    

Resolvendo a integral em relação a r :

∫ 0 R r 2 R - 2 r d r = r 3 3 R - r 4 2 0 R = R 4 3 - R 4 2 =   - R 4 6

Integrando em relação a θ :

∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ θ - 1 s e n 2 θ d θ = 2 ∫ 0 π s e n 2 θ d θ - 3 ∫ 0 π s e n 4 θ d θ

= 2 π 2 - 3 3 π 8 = π 1 - 9 8 = - π 8

Integrando em relação a ϕ :

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

A contribuição do quadripolo será:

1 2 k R - R 4 6 - π 8 2 π = k π 2 R 5 48

Passo 2

Agora, para pontos do eixo z , teremos teremo um potencial aproximado de ( r → z ) :

V z ≅ 1 4 π ϵ 0 k π 2 R 5 48 z 3

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima😊

Resposta

V z ≅ 1 4 π ϵ 0 k π 2 R 5 48 z 3