Enunciado

Uma esfera de raio R tem polarização uniforme P e magnetização uniforme M (não necessariamente na mesma direção). Encontre o momento eletromagnético dessa configuração. [Resposta: 4 / 9 π μ 0 R 3 ( M × P ) ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Essa questão vamos reaproveitar resultados dos campos magnéticos e elétricos para a configuração:

Os campos magnético e elétrico dentro da esfera são:

E → = - P → 3 ϵ 0                           B → = 2 3 μ 0 M →

E fora da esfera:

E → = 1 4 π ϵ 0 1 r 3 3 r ^ ∙ p → - p →                           B → = μ 0 4 π 1 r 3 3 r ^ ∙ m → - m →

Onde, p → e m → , são os momentos dipolares elétricos e magnéticos totais da esfera.

Então, bora calcular o momento eletromagnético!!!

Passo 2

O momento armazenado nos campos internos é, uma vez que os campos são constantes no interior:

G → i n = 4 π 3 R 3 g →

G → i n = - 8 π 27 μ 0 R 3 P → × M →

Passo 3

Agora, para calcularmos a contribuição devido aos campos externos, a densidade de momento é:

g → = ϵ 0 E → × B →

g → = μ 0 4 π 2 1 r 6 3 r ^ r ^ ∙ p → × m → - 2 p → × m → = g → 1 + g → 2

Calculando a contribuição em g → 2 :

G → o u t , 2 = ∫ V g → 2 d V

= - μ 0 4 π 2 2 p → × m → ∫ R ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 r 6 r 2 d r s e n   θ   d θ   d ϕ

= - 8 π 27 μ 0 R 3 P → × M →

Calculando a contribuição em g → 1 .

G → o u t , 1 = μ 0 16 π 2 R 3 p m s e n   α   y ^ ∫ 0 π s e n 2   θ   s e n   θ   d θ ∫ 0 2 π s e n 2   ϕ d ϕ

= 4 π 27 μ 0 R 3 P → × M →

Somando todos os momentos, encontramos que:

G → = - 4 π 9 R 3 μ 0 P → × M →

Resposta

G → = - 4 π 9 R 3 μ 0 P → × M →