Uma espira quadrada (de lado a) é montada em uma haste vertical e gira à velocidade angular ω (Figura 7.18). Um campo magnético uniforme B aponta para a direita. Encontre E ( t ) para esse gerador de corrente alternada.

Figura 7.18

Passo 1

E aí galerinha, vamos explorar mais um probleminha de eletrodinâmica.

Neste problema, nosso objetivo é encontrar a E ( t ) , que é descrita como:

E ( t )   =   - d Φ d t

Então, se determinarmos o fluxo, só precisaremos derivá-lo em função do tempo para encontrar a E ( t ) .

Passo 2

O fluxo é descrito por:

Φ =   B ∙ A

Esse produto escalar pode ser descrito como:

Φ =   B . A .   c o s ( θ )

Mas que θ será esse? Para identificá-lo, vamos olhar nosso sistema de cima.

Onde o ângulo procurado, corresponde ao angulo entre a direção do campo e direção perpendicular a espira. A área será a parte mais simples de identificar, por como é uma espira quadrada de lado a, a área corresponderá:

A =   a . a =   a 2

Então podemos reescrever o fluxo como:

Φ =   B . a 2 .   c o s ( θ )

Mas, como podemos observar, o fluxo não apresenta uma dependência temporal, da forma como está escrito. Por conta disso, vamos ter que associar uma das suas variáveis com o tempo.

Passo 3

A alternativa mais óbvia é reescrever o θ como o produto do ω . t . essa notação já foi utilizada em outras ocasiões, como na descrição dos osciladores harmônicos. Então, agora podemos reescrever o fluxo em função do tempo, como:

Φ =   B . a 2 .   c o s ( ω . t )

Passo 4

Agora para encontrarmos a E ( t ) , precisamos derivar o fluxo em função do tempo:

E ( t )   =   - d   ( B . a 2 .   c o s ( ω . t ) ) d t

E isso nos dá:

E ( t )   =   - B . a 2 . ω   ( - s i n ( ω . t ) )

Resposta

E ( t )   =   B . a 2 . ω   s i n ( ω . t )