No Exemplo 11.3 assumimos que a velocidade e aceleração eram (pelo menos momentaneamente) colineares. Faça a mesma análise para o caso em que elas são perpendiculares. Escolha os eixos de forma que v esteja ao longo do eixo z e a ao longo do eixo x (Figura 11.15), de forma que v = v z ^ ,   a = a x ^ e r ^ = sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ x ^ + sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ y ^ + cos ⁡ θ z ^ . Verifique se P é consistente com a fórmula de Liénard. [Resposta:

d P d Ω = μ 0 q 2 a 2 16 π 2 c 1 - β cos ⁡ θ 2 - 1 - β 2 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ 1 - β cos ⁡ θ 5

P = μ 0 q 2 a 2 γ 4 6 π c

Para velocidades relativísticas ( β ≈ 1 ) a radiação novamente atinge um pico acentuado na direção à frente (Figura 11.16). A aplicação mais importante dessas fórmulas é para o movimento circular – nesse caso, a radiação é chamada de radiação sincrotrônica. No caso de um elétron relativístico, a radiação flui como a luz de um farol de locomotiva à medida que a partícula se move.]

Passo 1

A equação 11.72 diz que

d P d Ω = q 2 16 π 2 ϵ 0 r ^ × u × a 2 r ^ ∙ u 5

Fazendo β ≡ v / c ,

u = c r ^ - v = c r ^ - v z ^ ⇒ r ^ ∙ u = c - v r ^ ∙ z ^ = c - v cos ⁡ θ

= c 1 - v c cos ⁡ θ = c 1 - β cos ⁡ θ ;

a ∙ u = a c x ^ ∙ r ^ - a v x ^ ∙ z ^ = a c sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ;

u 2 = u ∙ u = c 2 - 2 c v r ^ ∙ z ^ + v 2 = c 2 + v 2 - 2 c v cos ⁡ θ

Passo 2

r ^ × u × a = r ^ ∙ a u - r ^ ∙ u a ;

r ^ × u × a 2 = r ^ ∙ a 2 u 2 - 2 u ∙ a r ^ ∙ a r ^ ∙ u + r ^ ∙ u 2 a 2

= a 2 c 2 1 - β cos ⁡ θ 2 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ c 2 + v 2 - 2 c v cos ⁡ θ - 2 c 2 + 2 c v cos ⁡ θ

= a 2 c 2 1 - β cos ⁡ θ 2 - 1 - β 2 sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2

d P d Ω = μ 0 q 2 a 2 16 π 2 c 1 - β cos ⁡ θ 2 - 1 - β 2 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ 1 - β cos ⁡ θ 5

Passo 3

A energia total irradiada (em todas as direções) é

P = ∫ d P d Ω d Ω = ∫ d P d Ω sin ⁡ θ d θ   d ϕ  

= μ 0 q 2 a 2 16 π 2 c ∬ 1 - β cos ⁡ θ 2 - 1 - β 2 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ 1 - β cos ⁡ θ 5 sin ⁡ θ d θ   d ϕ

Mas,

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = π

Logo,

= μ 0 q 2 a 2 16 π 2 c π ∫ 0 π 2 1 - β cos ⁡ θ 2 - 1 - β 2 sin 2 ⁡ θ 1 - β cos ⁡ θ 5 sin ⁡ θ d θ

Fazendo ω ≡ 1 - β cos ⁡ θ . Então 1 - ω / β = cos ⁡ θ ; sin 2 ⁡ θ = β 2 - 1 - ω 2 / β 2 , e o numerador se torna

2 ω 2 - 1 - β 2 β 2 β 2 - 1 + 2 ω - ω 2

= 1 β 2 2 ω 2 β 2 + 1 - β 2 2 - 2 1 - β 2 ω + ω 2 1 - β 2

= 1 β 2 1 - β 2 2 - 2 1 - β 2 ω + 1 + β 2 ω 2

d ω = β sin ⁡ θ d θ ⇒ sin ⁡ θ d θ = 1 β d ω . Quando θ = 0 , ω = 1 - β ; quando θ = π , ω = 1 + β .

Passo 4

P = μ 0 q 2 a 2 16 π c 1 β 3 ∫ ( 1 - β ) ( 1 + β ) 1 ω 5 1 - β 2 2 - 2 1 - β 2 ω + 1 + β 2 ω 2 d ω

= 1 - β 2 2 - 1 4 ω 4 - 2 1 - β 2 - 1 3 ω 3 + 1 + β 2 - 1 2 ω 2 ​ 1 - β 1 + β

1 ω 2 ​ 1 - β 1 + β = 1 1 + β 2 - 1 1 - β 2 = - 4 β 1 - β 2 2

1 ω 3 ​ 1 - β 1 + β = 1 1 + β 3 - 1 1 - β 3 = - 2 β 3 + β 2 1 - β 2 3

1 ω 4 ​ 1 - β 1 + β = 1 1 + β 4 - 1 1 - β 4 = - 8 β 1 + β 2 1 - β 2 4

Logo,

= 1 - β 2 2 - 1 4 - 8 β ( 1 + β 2 ) 1 - β 2 4 - 2 1 - β 2 - 1 3 - 2 β 3 + β 2 1 - β 2 3

+ 1 + β 2 - 1 2 - 4 β 1 - β 2 2

= 2 β 1 - β 2 2 1 + β 2 - 2 3 3 + β 2 + ( 1 + β 2 ) = 8 3 β 3 1 - β 2 2

P = μ 0 q 2 a 2 16 π c 1 β 3 8 3 β 3 1 - β 2 2 = μ 0 q 2 a 2 γ 4 6 π c

Onde γ = 1 / 1 - β 2

Isso é consistente com a fórmula de Liénard (Equação 11.73)? Aqui v × a = v a z ^ × x ^ = v a y ^ , então

a 2 - v c × a 2 = a 2 1 - v 2 c 2 = 1 - β 2 a 2 = 1 γ 2 a 2

A fórmula de Liénard diz que

P = μ 0 q 2 γ 6 6 π c a 2 γ 2

Logo, está de acordo!

Resposta

Ver os Passos 1, 2, 3 e 4.