No Exemplo 3.8 determinamos o campo elétrico externo a um condutor esférico (raio R ) colocado em um campo uniforme externo E 0 . Resolva agora o problema usando o método das imagens e verifique se sua resposta concorda com a Equação 3.76.

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Bem galerinha, primeiramente para resolução do problema, iremos consultar a imagem abaixo. Cada carga real (em ± a )tem uma carga de imagem em ( ± a ). Deixe o eixo z positivo estar na direção certa, então o ângulo θ é o ângulo esférico.

O potencial total é dado por:

V = 1 4 π ϵ 0 q r 1 + q ' r 3 - q r 2 - q ' r 4

r 1,2 - 1 = r 2 + a 2 ∓ 2 cos ⁡ θ r a - 1 / 2   ≈ 1 a 1 ± r a cos ⁡ θ  

r 3 , 4 - 1 = r 2 + b 2 ∓ 2 cos ⁡ θ r b - 1 / 2   ≈ 1 r 1 ± b r cos ⁡ θ

, já que queremos a ≫ r e b ≪ r . Agora, o potencial é de aproximadamente, usando q ' = - q ( R / a ) e b = R 2 / a :

V = 1 4 π ϵ 0 [ 2 q r a 2 cos ⁡ θ + 2 ' q b r 2 cos ⁡ θ

= 1 4 π ϵ 0 2 q a 2 r - R 3 r 2 cos ⁡ θ

= - E 0 r - R 3 r 2 cos ⁡ θ

Dessa forma, colocando a   → ∞ mas mantendo E 0 constante, conseguimos replicar a solução da equação 3.76 do nosso livro!

E com isso a gente conclui nossa questãozinha, te vejo na próxima!

Resposta

V r , θ ≈ - E 0 r - R 3 r 2 cos ⁡ θ