Expresse os vetores unitário r ^ , θ ^ , ϕ ^ em termos de x ^ , y ^ , z ^ (ou seja, deduza a Equação 1.64)

Verifique a sua resposta de várias maneiras r ^ ⋅ r ^ = 1 ,   θ ^ ⋅ ϕ ^ = 0 ,   r ^ × θ ^ = ϕ ^ , . . .   . Calcule também as formas inversas dando x ^ , y ^ , z ^ em termos de r ^ , θ ^ , ϕ ^ (e θ , ϕ ).

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem com vocês? Então, vem comigo que a essa questão a gente Responde Aí juntos!

Nós sabemos que

x = r s e n   θ c o s ϕ ,   y = r s e n   θ s e n   ϕ ,   z = r c o s θ

Então,

r → = x x ^ + y y ^ + z z ^ = r s e n   θ c o s ϕ x ^ + r s e n   θ s e n   ϕ y ^ + r c o s θ z ^

Para conseguir o vetor unitário r ^ , temos que dividir r → por | r → | . Mas antes, temos que calcular esse módulo:

| r → | = r 2 s e n   2 θ c o s 2 ϕ + r 2 s e n 2   θ s e n 2   ϕ + r 2 c o s 2 θ   = r 2 s e n   2 θ + r 2 c o s 2 θ   = r 2 = r

Massa, então dá pra gente notar que

r ^ = r → | r → | = r → r = s e n   θ c o s ϕ x ^ + s e n   θ s e n   ϕ y ^ + c o s θ z ^

Passo 2

O vetor r ^ pode ser escrito como r ^ = ∂ r → ∂ r / ∂ r → ∂ r . Seguindo o mesmo raciocínio, obtemos

∂ r → ∂ θ = ∂ ∂ θ r s e n   θ c o s ϕ x ^ + r s e n   θ s e n   ϕ y ^ + r c o s θ z ^ = r c o s   θ c o s ϕ x ^ + r c o s   θ s e n   ϕ y ^ - r s e n θ z ^

∂ r → ∂ θ = r 2 c o s 2   θ c o s 2 ϕ + r 2 c o s 2   θ s e n 2   ϕ + r 2 s e n 2 θ = r 2 c o s 2   θ + r 2 s e n 2 θ = r 2 = r

⇒ θ ^ = ∂ r → ∂ θ / ∂ r → ∂ θ = c o s   θ c o s ϕ x ^ + c o s   θ s e n   ϕ y ^ - s e n θ z ^

e

∂ r → ∂ ϕ = ∂ ∂ ϕ r s e n   θ c o s ϕ x ^ + r s e n   θ s e n   ϕ y ^ + r c o s θ z ^ = - r s e n   θ s e n ϕ x ^ + r s e n   θ c o s ϕ y ^ + 0 z ^

∂ r → ∂ ϕ = r 2 s e n 2   θ s e n 2 ϕ + r 2 s e n 2   θ c o s 2 ϕ = r 2 s e n 2   θ = r s e n   θ

⇒ ϕ ^ = ∂ r → ∂ ϕ / ∂ r → ∂ ϕ = - s e n ϕ x ^ + c o s ϕ y ^

Pronto, com isso provamos a Equação 1.64.

Passo 3

Nesse passo, vamos checar se tudo está ok. Temos

r ^ ⋅ r ^ = s e n   θ c o s ϕ x ^ + s e n   θ s e n   ϕ y ^ + c o s θ z ^ ⋅ s e n   θ c o s ϕ x ^ + s e n   θ s e n   ϕ y ^ + c o s θ z ^

r ^ ⋅ r ^ = s e n 2   θ c o s 2 ϕ + s e n 2   θ s e n 2   ϕ + c o s 2 θ = s e n 2   θ + c o s 2 θ = 1

Check!

  θ ^ ⋅ ϕ ^ = c o s   θ c o s ϕ x ^ + c o s   θ s e n   ϕ y ^ - s e n θ z ^ ⋅ - s e n ϕ x ^ + c o s ϕ y ^

  θ ^ ⋅ ϕ ^ = - c o s   θ c o s ϕ s e n ϕ + c o s   θ s e n   ϕ c o s ϕ = 0

Check, de novo!

Passo 4

A última coisa que falta é inverter a relação para obter x ^ , y ^ , z ^ em termos de r ^ , θ ^ , ϕ ^ . Vamos multiplicar r ^ por s e n   θ e θ ^ por c o s θ e depois somar as duas:

s e n   θ r ^ = s e n 2   θ c o s ϕ x ^ + s e n 2   θ s e n   ϕ y ^ + s e n   θ c o s θ z ^

c o s θ θ ^ = c o s   2 θ c o s ϕ x ^ + c o s   2 θ s e n   ϕ y ^ - c o s θ s e n θ z ^

s e n   θ r ^ + c o s θ θ ^ = s e n 2   θ + c o s   2 θ c o s ϕ x ^ + s e n 2   θ + c o s   2 θ s e n   ϕ y ^ + s e n   θ c o s θ - c o s θ s e n θ z ^

⇒ s e n   θ r ^ + c o s θ θ ^ = c o s ϕ x ^ + s e n   ϕ y ^

Para conseguir x ^ , vamos multiplicar s e n   θ r ^ + c o s θ θ ^ por c o s ϕ e ϕ ^ por s e n   ϕ e subtrair uma da outra:

c o s ϕ s e n   θ r ^ + c o s ϕ c o s θ θ ^ - s e n   ϕ ϕ ^ = c o s 2 ϕ x ^ + c o s ϕ s e n   ϕ y ^ + s e n 2 ϕ x ^ - s e n ϕ c o s ϕ y ^

c o s ϕ s e n   θ r ^ + c o s ϕ c o s θ θ ^ - s e n   ϕ ϕ ^ = c o s 2 ϕ + s e n 2 ϕ x ^ + c o s ϕ s e n   ϕ - s e n ϕ c o s ϕ y ^

c o s ϕ s e n   θ r ^ + c o s ϕ c o s θ θ ^ - s e n   ϕ ϕ ^ = x ^

⇒ x ^ = c o s ϕ s e n   θ r ^ + c o s ϕ c o s θ θ ^ - s e n   ϕ ϕ ^

Passo 5

Para obter y ^ , vamos multiplicar s e n   θ r ^ + c o s θ θ ^ por s e n   ϕ e ϕ ^ por c o s ϕ e somar:

s e n   ϕ s e n   θ r ^ + s e n   ϕ c o s θ θ ^ + c o s ϕ ϕ ^ = s e n   ϕ c o s ϕ x ^ + s e n 2   ϕ y ^ - c o s ϕ s e n ϕ x ^ + c o s 2 ϕ y ^

s e n   ϕ s e n   θ r ^ + s e n   ϕ c o s θ θ ^ + c o s ϕ ϕ ^ = s e n   ϕ c o s ϕ - c o s ϕ s e n ϕ x ^ + s e n 2   ϕ + c o s 2 ϕ y ^

s e n   ϕ s e n   θ r ^ + s e n   ϕ c o s θ θ ^ + c o s ϕ ϕ ^ = y ^

⇒ y ^ = s e n   ϕ s e n   θ r ^ + s e n   ϕ c o s θ θ ^ + c o s ϕ ϕ ^

Estamos quase lá. Para obter z ^ , vamos multiplicar r ^ por c o s θ e θ ^ por   s e n   θ e depois subtrair uma da outra:

c o s θ r ^ = c o s θ s e n   θ c o s ϕ x ^ + c o s θ s e n   θ s e n   ϕ y ^ + c o s 2 θ z ^

s e n   θ θ ^ = s e n   θ c o s   θ c o s ϕ x ^ + s e n   θ c o s   θ s e n   ϕ y ^ - s e n 2 θ z ^

c o s θ r ^ - s e n   θ θ ^ = c o s θ s e n   θ c o s ϕ - s e n   θ c o s   θ c o s ϕ x ^ + c o s θ s e n   θ s e n   ϕ - s e n   θ c o s   θ s e n   ϕ y ^

+ c o s 2 θ + s e n 2 z ^

c o s θ r ^ - s e n   θ θ ^ = z ^

⇒ z ^ = c o s θ r ^ - s e n   θ θ ^

Bom, questão resolvida. Aqui eu me despeço de vocês e até a próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.