Expresse os vetores unitários cilíndricos s ^ , ϕ ^ , z ^ em termos de x ^ , y ^ , z ^ (ou seja, deduza a Equação 1.75). ‘Inverta’ as fórmulas para a x ^ , y ^ , z ^ em termos de s ^ , ϕ ^ , z ^ e ϕ ).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Da figura 1.42, podemos expressar os vetores unitários cilíndricos em termos dos vetores unitários em coordenadas cartesianas como:

  s ^ = cos ⁡ ϕ x ^ + sen ⁡ ϕ y ^

ϕ ^ = - sen ⁡ ϕ x ^ + cos ⁡ ϕ y ^

z ^ = z ^

Agora, precisamos inverter as três fórmulas superiores para obter x ^ , y ^ , z ^ em termos de s ^ , ϕ ^ , z ^ , multiplicando a primeira equação por cos ⁡ ϕ , a segunda equação por sen ⁡ ϕ , e com isso, subtrair a segunda na primeira, com isso:

s ^ cos ⁡ ϕ - ϕ ^ sen ⁡ ϕ = cos 2 ⁡ ϕ x ^ + cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ y ^ + sen 2 ⁡ ϕ x ^ - sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ y ^

Fazendo os devidos cálculos e usando as devidas propriedades

s ^ cos ⁡ ϕ - ϕ ^ sen ⁡ ϕ = x ^ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

Como sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , nós temos que

x ^ = s ^ cos ⁡ ϕ - ϕ ^ sen ⁡ ϕ

Passo 2

Para o caso de y ^ , multiplicando a primeira equação por s en ⁡ ϕ , a segunda equação por cos ⁡ ϕ , e somando as duas equações, nós obtemos o seguinte resultado

s ^ s en ⁡ ϕ + ϕ ^ cos ⁡ ϕ = sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ x ^ + sen 2 ⁡ ϕ y ^ - sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ x ^ + cos 2 ⁡ ϕ y ^

Com isso, nós temos que

s ^ sen ⁡ ϕ + ϕ ^ cos ⁡ ϕ = y ^ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

Como sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , nós temos que

y ^ = s ^ sen ⁡ ϕ + ϕ ^ cos ⁡ ϕ

E

z ^ = z ^ ∴

Resposta

Respondido acima!