A generaluzação relativística natual da formula de Abraham-Lorentz aparentemente seria:

K r a d μ = μ 0 q 2 6 π c d α μ d τ

É, com certeza, um quadrivetor e se reduz à formula de Abraham-Lorentz no limite não relativístico c ≫ v

  1. Mostre, mesmo assim, que essa não é uma força de Minkowski possível
  2. Encontre um termo de correção que, quando acrescentado ao lado direito, remove a objeção que você levantou em (a),sem afetar o caráter quadrivetorial da formula ou seu limite relastivistico.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Provamos no exercício 38 que α μ η μ = 0 , lembra?

Assim:

η μ K μ = μ 0 q 2 6 π c d ( η μ α μ )   d τ = 0

Assim sendo inconsistente.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Queremos achar um quadrivetor que preencha os requisitos, de forma que:

η μ K μ ∝ d α μ d τ + b μ η μ

Onde b μ é nosso termo de correção.

Passo 3

Se fizermos:

b μ = κ d α γ d τ   η γ η μ

Onde κ = 1 c 2 temos:

η μ K μ = μ 0 q 2 6 π c     d α μ d τ + κ d α γ d τ   η γ η μ η μ

K r a d μ = μ 0 q 2 6 π c     d α μ d τ + 1 c 2     d α γ d τ   η γ η μ

Onde sabemos que η μ = ( c , v ) preservandoo caráter quadrivetorial

Resposta

Para b)

O termo de correção é b μ = κ d α γ d τ   η γ η μ

κ = 1 c 2

K r a d μ = μ 0 q 2 6 π c     d α μ d τ + 1 c 2     d α γ d τ   η γ η μ