Uma haste isolante fina que vai de z = - a a z = ± a tem as seguintes densidades lineares de carga. Em cada caso, encontre o termo principal na expansão multipolar do potencial: (a) λ = k cos ( ⁡ π z / 2 a ) . (b) λ = k sen ( ⁡ π z / 2 a ) , (c) λ = k cos ⁡ ( ⁡ π z / a ) , onde k é uma constante.

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Para essa questão usaremos a fórmula da expansão multipolar, dada por:

V = 1 4 π ϵ 0 ∑ n = 1 ∞ 1 r n + 1 ∫ V r ' n P n cos ⁡ θ ρ r ' d τ '

= 1 4 π ϵ 0 ∑ n = 1 ∞ P n cos ⁡ θ r n + 1 ∫ - a a z n λ z d z

= 1 4 π ϵ 0 ∑ n = 1 ∞ P n cos ⁡ θ r n + 1 M n

M n = ∫ - a a z n λ z d z

Assim, podemos seguir para nossos itens.

Letra a)

Bem, agora λ ( z ) é assimétrico sobre a região, assim M 0 = 0 , mas M 1 ≠ 0 :

M 0 = ∫ - a a cos ⁡ π z 2 a d z

2 a k π sin ⁡ π z 2 a   | a - a = 4 k a π

→     = V ( r , θ ) ≈ 1 4 π ϵ 0 4 k a π

Passo 2

Letra b)

O campo dentro de uma bola carregada é:

M 0 = ∫ - a a z sin ⁡ π z a d z

= k - z a π cos ⁡ π z a + a 2 π 2   sin ⁡ π z a   | a - a

= 2 k a 2 π

Dessa forma:

→     = V r , θ ≈ 1 4 π ϵ 0 a 2 r 2 2 k cos ⁡ θ π

Passo 3

Letra c)

se se inspecionar a grafia de funções   λ ( z ) e λ ( z ) fica claro que as integrais dessas funções sobre - a , a serão zero, então M 0 = M 1 = 0 . M 2 então:

M 2 = ∫ - a a z 2 sin ⁡ π z a d z

= k z 2 a π sin ⁡ π z a + 2 z a 2 π 2   cos ⁡ π z a - 2 z a 3 π 3   sin ⁡ π z a | a - a

= - 4 k a 3 π 2

→     = V ≈ - 1 4 π ϵ 0 2 k π 2 a r 3   ( 3 cos 2 ⁡ θ - 1 )

Resposta

Letras a)

V ( r , θ ) ≈ 1 4 π ϵ 0 4 k a π

Letra b)

V r , θ ≈ 1 4 π ϵ 0 a 2 r 2 2 k cos ⁡ θ π

Letra c)

V r , θ ≈ - 1 4 π ϵ 0 2 k π 2 a r 3   ( 3 cos 2 ⁡ θ - 1 )