Imagine o elétron como uma casca esférica uniformemente carregada, com carga e raio , girando à velocidade angular .
(a) Calcule a energia total contida nos campos eletromagnéticos.
(b) Calcule o momento angular total contido nos campos.
(c) Segundo a fórmula de Einstein (), a energia nos campos deve contribuir para a massa do elétron. Lorentz e outros especularam que toda a massa do elétron pode ser explicada da seguinte forma: . Suponha, além do mais, que o momento angular do spin do elétron é totalmente atribuído aos campos eletromagnéticos: . Com esses dois pressupostos, determine o raio e a velocidade angular do elétron. Qual é o seu produto ? Esse modelo clássico faz sentido?
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida!!! Antes de tudo, vamos definir os campos elétrico e magnético:
Usando a fórmula para o dipolo magnético do Problema 5.37.
Onde, . Portanto, o campo magnético é:
Passo 2
Para calcularmos a energia total nos campos eletromagnéticos, precisamos calcular do campo fora e dentro:
Para a parte de fora temos o campo magnético e elétrico, então:
Logo, a energia total é a soma das 3 que encontramos:
Passo 3
Para calcular o momento angular, precisamos antes achar para integrarmos.
O momento angular será apenas na direção de , pois, como estamos trabalhando com uma esfera os componentes radiais serão cancelados. E o produto acima na componente é:
Com isso, nosso fica:
Logo, nosso momento angular é definido por:
Passo 4
Agora, pelo momento angular conseguimos a expressão para :
Usando os valores das constantes, encontramos:
Então, por :
Usando o valor para que encontramos acima e substituindo as constantes, encontramos:
E assim, calculando a velocidade angular com .
Logo, o modelo não é viável, pois, a velocidade angular é maior que a velocidade da luz!!!