Imagine o elétron como uma casca esférica uniformemente carregada, com carga e e raio R , girando à velocidade angular ω .

(a) Calcule a energia total contida nos campos eletromagnéticos.

(b) Calcule o momento angular total contido nos campos.

(c) Segundo a fórmula de Einstein ( E = m c 2 ), a energia nos campos deve contribuir para a massa do elétron. Lorentz e outros especularam que toda a massa do elétron pode ser explicada da seguinte forma: U e m = m e c 2 . Suponha, além do mais, que o momento angular do spin do elétron é totalmente atribuído aos campos eletromagnéticos: L e m = h / 2 . Com esses dois pressupostos, determine o raio e a velocidade angular do elétron. Qual é o seu produto ω R ? Esse modelo clássico faz sentido?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Antes de tudo, vamos definir os campos elétrico e magnético:

E i n = 0                             E o u t = - e 4 π ϵ 0 r 2 r ^

B i n = 2 3 μ 0 R ω σ   z ^                       B o u t = μ 0 m 4 π r 3 2 cos ⁡ θ r ^ + s e n   θ   θ ^

Usando a fórmula para o dipolo magnético do Problema 5.37.

m = 4 π 3 σ ω R 4 = - e 3 ω R 2

Onde, σ = - e / 4 π R 2 . Portanto, o campo magnético é:

B i n = - μ 0 ω e 6 π R z ^                       B o u t = μ 0 4 π r 3 e 3 ω R 2 2 cos ⁡ θ r ^ + s e n   θ   θ ^

Passo 2

Para calcularmos a energia total nos campos eletromagnéticos, precisamos calcular do campo fora e dentro:

U i n = ∫ V u i n d V = ∫ V 1 2 μ 0 μ 0 ω e 6 π R 2 d V

U i n = μ 0 R ω e 2 54 π

Para a parte de fora temos o campo magnético e elétrico, então:

U o u t = U E + U B

U E = ∫ R ∞ ∫ 0 2 π ∫ 0 π ϵ 0 2 e 4 π ϵ 0 r 2 2 r 2 d r s e n θ   d θ d ϕ

= ϵ 0 2 e 4 π ϵ 0 2 4 π ∫ R ∞ d r r 2

U E = e 2 8 π ϵ 0 R

U B = ∫ R ∞ ∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 2 μ 0 μ 0 m 4 π r 3 2 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2   θ r 2 d r s e n θ   d θ d ϕ

= μ 0 m 4 π 2 2 π 2 μ 0 ∫ R ∞ d r r 4 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ + 1 s e n   θ   d θ

U B = μ 0 m 2 12 π R 3

U B = μ 0 12 π e ω 3 2 R

Logo, a energia total é a soma das 3 que encontramos:

U = μ 0 R ω e 2 54 π + e 2 8 π ϵ 0 R + μ 0 12 π e ω 3 2 R

U = μ 0 R 36 π e ω 2 + e 2 8 π ϵ 0 R

Passo 3

Para calcular o momento angular, precisamos antes achar l para integrarmos.

l → = r → × ϵ 0 E → × B →

= - μ 0 16 π 2 e m r 4 s e n   θ   r ^ × ( r ^ × θ ^ )

O momento angular será apenas na direção de z , pois, como estamos trabalhando com uma esfera os componentes radiais serão cancelados. E o produto acima na componente z é:

r ^ × r ^ × θ ^ = s e n   θ

Com isso, nosso l fica:

l = - μ 0 16 π 2 e m r 4 s e n 2   θ

Logo, nosso momento angular é definido por:

L = - μ 0 16 π 2 e m ∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n 2   θ r 4 r 2 d r   s e n   θ   d θ   d ϕ

= - μ 0 8 π e m ∫ R ∞ d r r 2 ∫ 0 π s e n 3   θ d θ

L → = μ 0 18 π e 2 ω R   z ^

Passo 4

Agora, pelo momento angular conseguimos a expressão para ω R :

h 2 = μ 0 18 π e 2 ω R

ω R = 9 π h e 2 μ 0

Usando os valores das constantes, encontramos:

ω R ≈ 9,205.10 10   m / s

Então, por U = m e c 2 :

m e c 2 = μ 0 R 36 π e ω 2 + e 2 8 π ϵ 0 R

R m e c 2 = μ 0 e 2 36 π R ω 2 + e 2 8 π ϵ 0

R = μ 0 e 2 36 π R ω 2 + e 2 8 π ϵ 0 1 m e c 2

Usando o valor para ω R que encontramos acima e substituindo as constantes, encontramos:

R ≈ 2,94.10 - 11   m

E assim, calculando a velocidade angular com ω = ω R / R .

ω ≈ 3,13.10 21   r a d / s

Logo, o modelo não é viável, pois, a velocidade angular é maior que a velocidade da luz!!!

Resposta

  1. U = μ 0 R 36 π e ω 2 + e 2 8 π ϵ 0 R
  2. L → = μ 0 18 π e 2 ω R   z ^
  3. R ≈ 2,94.10 - 11   m                           ω ≈ 3,13.10 21   r a d / s