Imagine uma esfera de ferro de raio R que transporta uma carga Q e uma magnetização uniforme M = M z ^ . A esfera está inicialmente em repouso.

(a) Calcule o momento angular armazenado nos campos eletromagnéticos.

(b) Suponha que a esfera é gradualmente (e uniformemente) desmagnetizada (talvez aquecendo-a além do ponto de Curie). Use a lei de Faraday para determinar o campo elétrico induzido, encontrar o torque que esse campo exerce sobre a esfera e calcular o momento angular total transmitido à esfera no curso da desmagnetização.

(c) Suponha que em vez de desmagnetizar a esfera, nós a descarreguemos, conectando um fio de aterramento ao polo norte. Assuma que a corrente flui sobre a superfície de forma que a densidade de carga permanece uniforme. Use a lei de força de Lorentz para determinar o torque na esfera e calcule o momento angular total transmitido à esfera durante a descarga. (O campo magnético é descontinuo na superfície...isso importa?) [Resposta: 2 0 μ 0 M Q R 2 ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Essa questão é bem trabalhosa, o enunciado nos pede para calcularmos um monte de coisa. Porém, vamos no passo a passo, explicando cada condição que iremos finalizar!! Boraaaa.

Passo 2

O enunciado nos diz que a esfera é de ferro, então, toda a carga está sobre a superfície e não há campo elétrico interno. Os campos são:

E i n = 0                         B → i n = 2 3 μ 0 M →

E o u t = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^                             B o u t = μ 0 4 π m r 3 2 cos ⁡ θ r ^ + s e n   θ   θ ^

A densidade do momento angular.

l → = r → × g →

= r → × ϵ 0 Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^ × μ 0 4 π m r 3 2 cos ⁡ θ r ^ + s e n   θ   θ ^

= μ 0 Q m 16 π 2 r 4 s e n   θ   r ^ × r ^ × θ ^

= - μ 0 Q m 16 π 2 r 4 s e n   θ   θ ^

O único componente que restará será na direção z , porque as outras se cancelarão por simetria. Logo:

z ^ = cos ⁡ θ r ^ - s e n   θ   θ ^

l z = l → ∙ z ^ = μ 0 Q m 16 π 2 r 4 s e n 2   θ

Calculando o momento angular total:

L = ∫ V l z d V

= μ 0 Q m 16 π 2 r 4 z ^ ∫ R ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 r 4 s e n 2   θ   r 2 d r   s e n   θ d θ   d ϕ

= 2 9 μ 0 Q M R 2   z ^

Passo 3

O campo induzido será circunferencial. Pela lei de Faraday, o campo na superfície da esfera é:

2 π R s e n   θ   E = - π R s e n   θ 2 B ˙

E → = - R s e n   θ 3 μ 0 M ˙   ϕ ^

Agora, o torque é calculado pela equação abaixo:

d N → = R → × d q E →

= - R r ^ σ d a R s e n   θ 3 μ 0 M ˙   ϕ ^

Onde,

d a = R 2 s e n   θ   d θ   d ϕ                                 r ^ × ϕ ^ = - θ ^                             σ = Q 4 π R 2

Logo:

d N → = 1 12 π μ 0 Q M ˙ R 2 s e n 2   θ   d θ   d ϕ   θ ^

Integrando.

N → = - 2 9 μ 0 Q M ˙ R 2   z ^

De novo, na direção z pelo mesmo motivo do Passo 2.

Portanto, o momento angular é:

L → = ∫ 0 t f N → d t

= - 2 9 μ 0 Q R 2 z ^ ∫ 0 t f M ˙ d t

= - 2 9 μ 0 Q R 2 z ^ ∫ M 0 d M

= 2 9 μ 0 Q M R 2   z ^

Passo 4

Por fim, para a ultima parte da nossa questão, temos que o torque é dado por:

d N → = R → × d F →

d N → = R r ^ × d a Q 4 π R cot ⁡ θ 2 θ ^ × B → a v g

Onde o campo magnético médio é:

B → a v g = 1 6 μ 0 M 4 cos ⁡ θ r ^ - s e n   θ   θ ^

Calculando o torque:

N = - μ 0 Q ˙ M 3 R 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π cot ⁡ θ 2 s e n 2 θ cos ⁡ θ d θ

N = - 2 9 μ 0 Q M ˙ R 2   z ^

Sendo assim, o momento angular total será:

L = ∫ V l z d V

= μ 0 Q m 16 π 2 r 4 z ^ ∫ R ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 r 4 s e n 2   θ   r 2 d r   s e n   θ d θ   d ϕ

= 2 9 μ 0 Q M R 2   z ^

Resposta

Para todos os casos. L → = 2 9 μ 0 Q M R 2   z ^ .