Com a inclusão da força de reação de radiação (Equação 11.80), a segunda lei de Newton para uma partícula carregada torna-se

a = r a ˙ + F m

Onde F é a força externa agindo sobre a partícula.

(a) Em contraste com o caso de uma partícula não carregada a = F / m , a aceleração (como a posição e a velocidade) deve agora ser uma função contínua do tempo, mesmo que a força mude abruptamente. (Fisicamente, a reação de radiação amortece qualquer alteração rápida em a .) Prove que a é contínuo em qualquer tempo t , integrando a equação de movimento acima de t - ϵ até t + ϵ e tomando o limite ϵ → 0 .

(b) Uma partícula está sujeita a uma força constante F , que começa no tempo t = 0 e dura até o tempo T . Encontre a solução mais geral a ( t ) para a equação de movimento em cada um dos três períodos: i   t < 0 ; i i   0 < t < T ; i i i   t > T .

(c) Imponha a condição de continuidade (a) em t = 0 e t = T . Mostre que você pode eliminar a divergência exponencial na região ( i i i ) ou evitar a pré-aceleração na região ( i ) , mas não ambas.

(d) Se resolver eliminar a divergência exponencial, qual é a aceleração como função temporal, em cada intervalo? E quanto à velocidade? (Este deve, é claro, ser contínua em t = 0 e t = T .) Assuma que a partícula estava originalmente em repouso; v - ∞ = 0 .

(e) Desenhe o gráfico de a ( t ) e v ( t ) , tanto para uma partícula sem carga quanto para uma partícula com carga (sem divergência exponencial) sujeitas a essa força.

Passo 1

Olá estudante!

Primeiro vamos analisar o que a questão quer.

Agora vamos utilizar as informações fornecidas por ela, vamos lá!

(a) Bom, temos que,

a = r a ˙ + F m

⇒ d v d t = r d a d t + F m

⇒ ∫ d v d t   d t = r ∫ d a d t   d t + 1 m   ∫ F d t

v t 0 + ϵ - v t 0 - ϵ = r a t 0 + ϵ - a t 0 - ϵ + 2 ϵ m F m e d

Onde F m e d é a força média durante o intervalo. Mas v é contínuo, então, enquanto F não é uma função delta, nós somos deixados (no limite ϵ → 0 ) com a t 0 + ϵ - a t 0 - ϵ = 0 . Assim a , também, é contínuo.

Passo 2

(b)

i

a = r a ˙ = r d a d t

⇒ d a a = 1 r d t ⇒ ∫ d a a = 1 r   ∫ d t ⇒ ln ⁡ a = t r + c o n s t a n t e

⇒ a t = A e t / r

Onde A é constante.

( i i )

a = r a ˙ + F m ⇒ r d a d t = a - F m

⇒ d a a - F / m = 1 r d t ⇒ ln ⁡ a - F / m

= t r + c o n s t a n t e   ⇒ a - F m = B e t / r

⇒ a t = F m + B e t / r

Onde B é alguma outra constante.

Passo 3

(c) Em t = 0 , A = F / m   + B ; Em t = T , F / m   + B e T / r = C e T / r ⇒ C = F / m e - T / r + B .

Então,

a t = F / m + B e t / r ,                     t ≤ 0 ; F / m + B e t / r ,                         0 ≤ r ≤ T ; F / m e - T / r + B e t / r ,                       t ≥ T .

Para eliminar o fugitivo na região ( i i i ) , precisaríamos de B = - ( F / m ) e - T / r   ; para evitar a pré-aceleração na região ( i ) , precisaríamos de B = - ( F / m ) . Obviamente, não podemos fazer as duas coisas ao mesmo tempo.

Passo 4

(d) Se optarmos por eliminar o fugitivo, então

a t = F / m 1 - e - T / r e t / r ,                         t ≤ 0 ; F / m 1 - e t - T / r ,                       0 ≤ t ≤ T ; 0 ,                         t ≥ T .

( i )

v = F / m 1 - e - T / r ∫ e t / r d t = F r / m 1 - e - T / r e t / r + D

Onde D é uma constante determinada pela condição

v - ∞ = 0 ⇒ D = 0

( i i )

v = F / m t - r e t - T / r + E

Onde E é uma constante determinada pela continuidade de v em t = 0 :

F r / m 1 - e - T / r = F / m - r e - T / r + E ⇒ E = F r / m

( i i i ) v é uma constante determinada pela continuidade de v em t = T : v = F / m T + r - r

= F / m T

v t = F r / m 1 - e - T / r e t / r ,           t ≤ 0 ; F / m t + r - r e t - T / r ,           0 ≤ t ≤ T F / m T ,           t ≥ T

Passo 5

(e)

Resposta

Ver Passos 1, 2, 3, 4 e 5.