Enunciado

O indutor no circuito da Figura P8.14 é aumentado para 125 mH. Determine v 0 ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para essa questãozinha aqui, devemos primeiro fazer a análise do circuito em questão:

Passo 2

Agora que já temos cenário do circuito, vamos analisar a sua resposta, para determinar a equação geral de v 0 ( t ) .

Para isso, basta fazermos a comparação entre os valores de α e   ω 0 : Se α 2 > ω 0 2 , o circuito é superamortecido. Se α 2 < ω 0 2 , o circuito é subamortecido. E se α 2 = ω 0 2 , o circuito é criticamente amortecido.

Sendo assim, calcularemos primeiro os valores de α e   ω 0 :

Para α , utilizaremos a fórmula: α = 1 2 R C . Porém, temos somente o valor de C. O valor de R deverá ser calculado da seguinte forma: R = v T i T

v T = - 10 i ϕ + i T 150 * 60 150 + 60

v T = - 10 - i T 150 210 + i T 9000 210

v T i T = 1500 + 9000 210 = 50   Ω

Substituindo esse valor na fórmula de α temos:

α = 1 2 ( 50 ) ( 8 * 10 - 6 ) = 1250   r a d / s

Já para ω 0 , como L e C foram dados no enunciado, temos que:

  ω 0 = 1 L C = 1 ( 125 * 10 - 3 ) ( 8 * 10 - 6 ) = 1 00 0   r a d / s

Portanto, comparando os dois valores, podemos afirmar que α 2 > ω 0 2 , portanto, o circuito é superamortecido, e a equação geral de v 0 ( t ) é:

v 0 t = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t

Passo 3

Para calcular as raízes, faremos uso da seguinte fórmula:

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Com os valores de α e ω 0 encontrados no passo anterior, temos que:

s 1,2 = - 1250 ± 1250 2 - 10 00 2

s 1 = - 500 ;   s 2 = - 2 000

Com os valores das raízes, podemos colocar na fórmula do passo 2:

v t = A 1 e - 50 0 t + A 2 e - 2 000 t

Passo 4

Em seguida, precisaremos determinar os valores de A 1 e de A 2 para chegarmos à resposta final. Porém, antes disso precisaremos determinar alguns valores e relações:

V 0 = 4000 10.000 50 = 20   V ;   I 0 = 0

Tendo em vista esses valores acima, podemos então encontrar A 1 e A 2 :

Faremos as seguintes relações:

v 0 0 = A 1 + A 2 = 20   V

d v 0 d t 0 = - 500 A 1 - 2000 A 2 = 1 C - I 0 - V 0 R

Portanto:

- 500 A 1 - 2 000 A 2 = 1 8 * 10 - 6 0 - 2 0 50 = - 5 0 . 000

Resolvendo as equações acima:

A 1 = - 6,67 ,   A 2 = 26,67

Desse modo, podemos concluir que:

v 0 t = - 6,67 e - 50 0 t + 2 6,67 e - 200 0 t   V ,   t ≥ 0

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

v 0 t = - 6,67 e - 500 t + 26,67 e - 2000 t   V ,   t ≥ 0

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