Enunciado

Sabe-se que a corrente no circuito da Figura 8.3 é

i = B 1 e - 2000 t cos ⁡ 1500 t + B 2 e - 2000 t sin ⁡ 1500 t ,     t ≥ 0

O capacitor tem um valor de 80   n F ; o valor inicial da corrente é de 7,5   m A , e a tensão inicial no capacitor é - 30   V . Determine os valores de R ,   L ,   B 1   e   B 2 .

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaaaala, galera! Beleza? Dando início aos exercícios da seção 8.4, vamos facilitar a sua vida e vamos colocar o circuito da figura 8.4 para podermos fazer o que se pede.

Ok! Estamos diante de um circuito RLC série sem fonte. Também nos é dado a corrente em função do tempo. Assim, vamos começar pelo mais fácil. Vamos retirar da equação os valores de α e ω d :

α = 2000 r a d s            e          ω d = 1500 r a d s

Com essas duas informações, podemos encontrar ω 0 que será útil no cálculo da indutância:

ω d 2 + α 2 = ω 0 2 ⇒ ω 0 2 = 2000 2 + 1500 2 ⇒ ω 0 2 = 625 ⋅ 10 4 r a d 2 s 2

Vamos deixar esse valor ao quadrado para facilitar as contas abaixo. Sabemos que a equação que relaciona ω 0 e L é:

ω 0 = 1 L C

mas como já temos o valor de ω 0 2 , podemos reescrever

ω 0 2 = 1 L C ⇒ L = 1 ω 0 2 ⋅ C = 1 625 ⋅ 10 4 ⋅ 80 ⋅ 10 - 9 ∴ L = 2   H

Além disso, o valor de R pode ser obtido de

α = R 2 L ⇒ R = 2 ⋅ α ⋅ L = 2 ⋅ 2000 ⋅ 2 ∴ R = 8   k Ω

Passo 2

Dando continuidade à análise, vamos precisar trabalhar em cima do circuito para encontrar as duas outras constantes. Escolhendo t = 0 para analisar a corrente, obtemos o seguinte:

i = B 1 e - 2000 t cos ⁡ 1500 t + B 2 e - 2000 t sin ⁡ 1500 t

⇒ i 0 = B 1 e - 2000 ⋅ 0   cos ⁡ 1500 ⋅ 0 + B 2 e - 2000 ⋅ 0 sin ⁡ 1500 ⋅ 0

⇒ i 0 = B 1 e 0 cos ⁡ 0 + B 2 e 0 sin ⁡ 0

Como cos ⁡ 0 = 1 ; sin ⁡ 0 = 0 e e 0 = 1 , temos que

i 0 = B 1 ∴ B 1 = 7,5   m A

Resta então encontrar a outra constante.

Passo 3

No enunciado nos foi dito a corrente inicial circuito e a tensão no capacitor. Podemos usar a informação da corrente para encontrar a tensão no resistor usando a Lei de Ohm e após isso usar a LKT para encontrar a tensão no indutor. Vamos mostrar isso num desenho

A figura já ajuda a esclarecer um pouco o que foi dito. Perceba que a polaridade da tensão no capacitor é diferente da sugerida na figura. Isso implica numa mudança de polaridade durante a análise:

v R = 8000 ⋅ 7,5 ⋅ 10 - 3 ⇒ v R = 60   V

Assim:

v R + v L 0 + + - 30 = 0 ⇒ v L 0 + = 30 - 60 ⇒ v L 0 + = - 30   V

Passo 4

A tensão no indutor é dada por

v L = L ⋅ d i d t

Assim,

v L 0 + = L ⋅ d i 0 + d t ⇒ d i 0 + d t = v L 0 + L = - 30 2 ⇒ d i 0 + d t = - 15   A / s

Também podemos obter uma expressão para d i ( 0 + ) / d t a partir da equação da corrente fornecida no enunciado. Vamos reescrever a equação da corrente:

i = B 1 e - 2000 t cos ⁡ 1500 t + B 2 e - 2000 t sin ⁡ 1500 t

Derivando essa expressão, vamos obter:

d i d t = B 1 - 2000 e - 2000 t cos ⁡ 1500 t + e - 2000 t ( - sin ⁡ 1500 t ) 1500 + B 2 [ - 2000 e - 2000 t sin ⁡ 1500 t + e - 2000 t cos ⁡ 1500 t ( 1500 ) ]

Substituindo o valor de B 1 e escolhendo t = 0 , obtemos:

d i 0 + d t = - 15 = 0,0075 ⋅ - 2000 + B 2 ⋅ 1500

⇒ - 15 + 1500 B 2 = - 15 ∴ B 2 = 0

E assim, concluímos a primeira de todas as questões dessa seção. Vamos em frente!

Resposta

L = 2   H

R = 8   k Ω

B 1 = 7,5   m A

B 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

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