A integral

a = ∫ S d a

É às vezes chamada de vetor área da superfície S . Se S for plana, então a é a área (escalar) ordinária, obviamente.

(a) Encontre a área vetorial de uma meia-esfera de raio R .

(b) Mostre que a = 0 para qualquer superfície fechada. [Dica: use o Problema 1.60a.]

(c) Mostre que a é o mesmo para todas as superfícies que têm o mesmo contorno.

(d) Mostre que

a = 1 2 ∮ r × d l

Onde a integral é em torno da linha de contorno. [Dica: uma maneira de fazer isso é desenhar o cone subentendido pelo laço na origem. Divida a superfície cônica em cunhas triangulares infinitesimais, cada uma delas com o vértice na origem e oposto ao lado d l , e explore a interpretação geométrica do produto vetorial (Figura 1.8).]

(e) Mostre que

∮ ( c . r ) d l = a × c

Para qualquer vetor constante c . [Dica: considere que T = c . r no Problema 1.60e.]

Passo 1

Falaaa, tudo bem?? Enunciado enorme né?? Haha!!

Mas não vamos demorar tanto na resolução, bora para o exemplo que vou explicando cada parte em sua devida resolução!!

Passo 2

Na letra (a), temos que calcular a área vetorial de uma meia-esfera e para calcularmos essa área usamos a seguinte função:

a = ∫ ∫ S d S

E como queremos a área vetorial de uma esfera d S = r ^ R 2 s e n   θ   d ϕ   d θ .

Onde r ^ = ( s e n   θ cos ⁡ ϕ   x ^ + s e n   θ   s e n   ϕ   y ^ + cos ⁡ θ z ^ )

Temos uma meia esfera, então θ   vai até π / 2 .

a = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ( s e n   θ cos ⁡ ϕ   x ^ + s e n   θ   s e n   ϕ   y ^ + cos ⁡ θ z ^ ) R 2 s e n   θ   d ϕ   d θ

= R 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ( s e n 2   θ cos ⁡ ϕ   x ^ + s e n 2   θ   s e n   ϕ   y ^ + s e n   θ cos ⁡ θ z ^ )   d ϕ   d θ

= R 2 x ^ ∫ 0 π / 2 s e n 2   θ d θ ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ d ϕ + y ^ ∫ 0 π / 2 s e n 2   θ d θ ∫ 0 2 π s e n   ϕ d ϕ + z ^ ∫ 0 π / 2 s e n   θ cos ⁡ θ d θ

a = R 2 x ^ ∫ 0 π 2 s e n 2   θ d θ ( 0 ) + y ^ ∫ 0 π 2 s e n 2   θ d θ ( 0 ) + z ^ 1 2 ( 2 π )

a = π R 2 z ^

Passo 3

Caso a gente considere que temos uma superfície fechada, podemos substituir T = 1 .

∭ D ∇ T d V = ∯ T d S

Então, temos o seguinte:

∭ D ( ∇ 1 ) d V = ∯ T d S

A derivada de uma constante será sempre zero, logo:

0 = ∯ T d S

Passo 4

Usando a fórmula que nos foi dada no enunciado da letra (d).

a = 1 2 ∮ r × d l

Essa equação nos diz que a depende apenas da linha de contorno, logo, se o contorno é o mesmo teremos o mesmo resultado para a .

Passo 5

Para um triângulo, d a = 1 2 r × d l . Já que r × d l é a área do paralelogramo, e a direção é perpendicular a superfície. Logo:

a = 1 2 ∮ r × d l

Passo 6

Vamos considerar que T = c ∙ r para a função abaixo:

∮ T d l

Então, temos:

∮ ( c ∙ r ) d l

Usando a regra do produto: ∇ T = ∇ ( c ∙ r ) .

Onde, ∇ c ∙ r = c × ∇ × r + c ∙ ∇ r .

Só que ∇ × r = 0 e c ∙ ∇ r = c .

Voltando a igualdade que definimos acima:

∮ T d l = ∮ ( c ∙ r ) d l

∮ ( c ∙ r ) d l = - ∫ ∇ T × d a

= - ∫ ∇ T × d a

= - ∫ c × d a

= - c × a

∮ ( c ∙ r ) d l = a × c

Resposta

Resolução nos passos anteriores.