A integral
É às vezes chamada de vetor área da superfície . Se for plana, então é a área (escalar) ordinária, obviamente.
(a) Encontre a área vetorial de uma meia-esfera de raio .
(b) Mostre que para qualquer superfície fechada. [Dica: use o Problema 1.60a.]
(c) Mostre que é o mesmo para todas as superfícies que têm o mesmo contorno.
(d) Mostre que
Onde a integral é em torno da linha de contorno. [Dica: uma maneira de fazer isso é desenhar o cone subentendido pelo laço na origem. Divida a superfície cônica em cunhas triangulares infinitesimais, cada uma delas com o vértice na origem e oposto ao lado , e explore a interpretação geométrica do produto vetorial (Figura 1.8).]
(e) Mostre que
Para qualquer vetor constante . [Dica: considere que no Problema 1.60e.]
Passo 1
Falaaa, tudo bem?? Enunciado enorme né?? Haha!!
Mas não vamos demorar tanto na resolução, bora para o exemplo que vou explicando cada parte em sua devida resolução!!
Passo 2
Na letra (a), temos que calcular a área vetorial de uma meia-esfera e para calcularmos essa área usamos a seguinte função:
E como queremos a área vetorial de uma esfera .
Onde
Temos uma meia esfera, então vai até .
Passo 3
Caso a gente considere que temos uma superfície fechada, podemos substituir .
Então, temos o seguinte:
A derivada de uma constante será sempre zero, logo:
Passo 4
Usando a fórmula que nos foi dada no enunciado da letra (d).
Essa equação nos diz que depende apenas da linha de contorno, logo, se o contorno é o mesmo teremos o mesmo resultado para .
Passo 5
Para um triângulo, . Já que é a área do paralelogramo, e a direção é perpendicular a superfície. Logo:
Passo 6
Vamos considerar que para a função abaixo:
Então, temos:
Usando a regra do produto: .
Onde, .
Só que e .
Voltando a igualdade que definimos acima:
Resposta
Resolução nos passos anteriores.