A Lei de Ampère é coerente com a regra geral (Equação 1.46) de que o divergente do rotacional é sempre zero? Demonstre que a lei de Ampère, em geral, não é válida fora da magnetoestática. Esse ‘defeito’ existe nas outras três equações de Maxwell?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

De acordo com a lei de Ampere:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I e n c = μ 0 ∫ S J → ∙ d S →

Aplicando o teorema de stokes na integral de superfície, nós obtemos que

∫ S ( ∇ × B → ) ∙ d S → = μ 0 ∫ S J → ∙ d S →

Como estamos integrando na mesma “superfície”, essas integrais tem o mesmo resultado, logo,

∇ × B → = μ 0 J →

Atacando ambos os lados com o operador de divergência no lado esquerdo, obtemos zero (a divergência de curvatura é zero), mas no lado direito obtemos:

μ 0 ∇ ∙ J → = - μ 0 ∂ ρ ∂ t

portanto, a menos que ρ = c t e . isso não vale em geral, a equação ∇ × E → é obviamente consistente com isso, já que o lado direito é zero. Para as outras duas equações de divergência não há derivadas segundas nulas.

Resposta

A lei de Ampere não é válida fora da magnetostática. Outras equações não sofrem tais problemas.