Lembre-se de que um quadrivetor covariante é obtido de outro contravariante mudando-se o sinal do componente de índice 0. O mesmo vale para os tensores: quando você ‘baixa um índice’ para torna-lo covariante, muda o sinal se o índice for zero. Calcule os invariantes tensoriais

F μ v F μ v ,     G μ v G μ v ,     F μ v G μ v

Em termos de E e B. Compare ao problema 12.46  

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Vamos abrir F μ v F μ v ? Bora lá!

F μ v F μ v = F 00 F 00 - F 01 F 01 - F 02 F 02 - F 03 - F 10 F 10 - F 20 F 20

F 30 F 30 + F 11 F 11 + F 12 F 12 + F 13 F 13 + F 21 F 21 + F 22 F 22 + F 23 F 23

F 31 F 31 + F 32 F 32 + F 33 F 33

Treco feio né?!

Usando as relações

Rearranjando:

F μ v F μ v = - E x c 2 - E y c 2 - E z c 2 - E x c 2 - E y c 2 - E z c 2

+ B x 2 + B y 2 + B z 2 + B x 2 + B y 2 + B z 2

F μ v F μ v = 2 B 2 - 2 E 2 c 2 = 2 B 2 - E 2 c 2

Em comparação ao valor que obtemos no problema 46 que era E - c 2   B 2 , temos assim um fator - 2 c 2

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para G μ v G μ v

É dito na equação 12.119, e mostrado também, que podemos poder G μ v diretamente de F μ v   ao substituir E c → B e B → E c

Assim:

G μ v G μ v = 2 - B 2 + E 2 c 2

Passo 3

Para F μ v G μ v pelo já obtido antes:

F μ v G μ v = - 2 F 01 G 01 + F 02 G 02 + F 03 G 03 + 2 F 12 G 12 + F 13 G 13 + F 23 G 23

= - 2 E x B x c + E y B y c + E z B z c + 2 B x - E x c + B y - E y c + B z - E z c

∴ F μ v G μ v = - 2 c E ∙ B - 2 c E ∙ B = - 4 c E ∙ B

Difere de um fator - 4 c do problema 46 item a

Resposta

F μ v F μ v = 2 B 2 - E 2 c 2

G μ v G μ v = 2 - B 2 + E 2 c 2

F μ v G μ v = - 4 c E ∙ B