(a) Leve até o fim o argumento da Seção 8.1.2, começando com a Equação 8.6, mas usando J l no lugar de J . Mostre que o vetor de Poynting torna-se

S = E × H

E a taxa de mudança da densidade de energia do campo é

∂ u e m ∂ t = E ∙ ∂ D ∂ t + H ∙ ∂ B ∂ t

Para um meio linear, mostre que

u e m = 1 2 E ∙ D + B ∙ H

(b) Com o mesmo espírito, reproduza o argumento da Seção 8.2.2, começando com a Equação 8.15, com ρ l e J l em lugar de ρ e J . Não se preocupe em montar o tensor das tensões de Maxwell, mas mostre que a densidade de momento é

℘ = D × B

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Nesta questão precisamos usar as Equações que o enunciado mencionou, vou deixa-las abaixo:

                                    d W d t = ∫ V E → ∙ J → f d V                     ( 8.6 )

                                        f → = ρ f E → + J → f × B →                           ( 8.16 )

Na letra (b), vamos usar direto a Equação 8.16, pois, a 8.15 resulta nela. Agora, vamos para os cálculos!!!

Passo 2

Começando com a Equação 8.6, temos:

d W d t = ∫ V E → ∙ J → f d V

E → ∙ J → f = E → ∙ ∇ × H → - ∂ D → ∂ t

= E → ∙ ∇ × H → - E → ∙ ∂ D → ∂ t

= - ∇ ∙ E → × H → + H → ∙ ∇ × E → - E → ∙ ∂ D → ∂ t

= - ∇ ∙ E → × H → - H → ∙ ∂ B → ∂ t - E → ∙ ∂ D → ∂ t

Com isso, a taxa na qual o trabalho é realizado é:

d W d t = ∫ V - ∇ ∙ E → × H → - H → ∙ ∂ B → ∂ t - E → ∙ ∂ D → ∂ t d V

= - ∮ A E → × H → ∙ d A → - ∫ V H → ∙ ∂ B → ∂ t + E → ∙ ∂ D → ∂ t d V

Então, podemos reconhecer que na primeira integral temos o vetor de Poynting, e na segunda temos variação da densidade de energia no tempo.

S → = E → × H →

∂ u ∂ t = H → ∙ ∂ B → ∂ t + E → ∙ ∂ D → ∂ t

Por fim, para um meio linear a relação para o campo de deslocamento e o campo auxiliar é:

D → = ϵ E →                         H → = 1 μ B →

Com isso, a variação da densidade de energia no tempo fica:

∂ u ∂ t = H → ∙ ∂ B → ∂ t + E → ∙ ∂ D → ∂ t

= 1 μ B → ∙ ∂ B → ∂ t + E → ∙ ϵ ∂ E → ∂ t

= 1 μ ∂ ∂ t 1 2 B 2 + ϵ ∂ ∂ t 1 2 E 2

= 1 2 ∂ ∂ t B → ∙ B → 1 μ + ϵ E → ∙ E →

= 1 2 ∂ ∂ t B → ∙ H → + E → ∙ D →

u = 1 2 B → ∙ H → + E → ∙ D →

Passo 3

Começando com a Equação 8.16:

f → = ρ f E → + J → f × B →

= ∇ ∙ D → E → + ∇ × H → - ∂ D → ∂ t × B →

= ∇ ∙ D → E → + ∇ × H → × B → - ∂ D → ∂ t × B →

= ∇ ∙ D → E → - B → × ∇ × H → - ∂ ∂ t D → × H → - D → × ∇ × E →

= ∇ ∙ D → E → - D → × ∇ × E → + ∇ ∙ B → H → - B → × ∇ × H → - ∂ ∂ t D → × B →

O terceiro termo da equação será zero, pois, o divergente de um campo magnético sempre dará zero. Logo, o termo entre colchetes pode ser visto como o tensor das tensões, e o ultimo termo da equação é a mudança da densidade de momento.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.