Uma linha de carga uniforme λ é colocada em um fio reto infinito, a uma distância d acima de um plano condutor aterrado. (Digamos que o fio corre paralelo ao eixo x e diretamente acima dele e que o plano condutor é o plano x y .)

a) Encontre o potencial na região acima do plano. [Dica: refira-se ao Problema 2.47.]

b) Encontre a densidade de carga σ induzida no plano condutor.

Passo 1

a) Faaala, galera! Bora pra mais uma. O esquema para o problema é o seguinte:

Como o enunciado nos sugere, utilizaremos o problema 2.47 como referência, portanto o potencial será calculado de seguinte forma:

V y , z = 2 λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ s - s + = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ s - 2 s + 2

V y , z =   λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ y 2 + z + d 2 y 2 + z - d 2

Passo 2

b) Para a densidade de carga induzida no condutor, utilizaremos a seguinte expressão:

σ =   - ϵ 0 ∂ V ∂ n

No nosso caso ∂ V ∂ n = ∂ V ∂ z , em z = 0 . Com isso aplicando a derivada parcial em V e utilizando a expressão acima, teremos:

σ y =   - ϵ 0   λ 4 π ϵ 0   1 y 2 + z + d 2 2 z + d - 1 y 2 + z - d 2 2 z - d ​ z = 0

= 2 λ 4 π d y 2 + d 2 - - d y 2 + d 2 = -   λ d π ( y 2 + d 2 )

Portanto:

σ y = -   λ d π ( y 2 + d 2 )

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

σ y = -   λ d π ( y 2 + d 2 )