(a) Uma das maneiras de preencher o 'elo perdido" da Figura 5.48 é explorar a analogia entre as equações que definem A ∇ ∙ A = 0 ,   ∇ × B e as equações de Maxwell para B   ( ∇ ∙ B = 0 ,     V × B = μ 0 J ) . Evidentemente, A depende de B exatamente da mesma maneira que B depende de μ 0 J (a saber: a lei de Biot-Savart). Use esta observação para escrever a fórmula para A em termos de B.

(b) o análogo elétrico para o seu resultado em (a) é

V r = - 1 4 π ∫ E r ' ∙ ϑ ϑ 2 d τ '

Deduza-o, explorando a analogia apropriada.

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Letra (a)

Primeiramente nós sabemos que:

B → = μ 0 4 π ∫ J → × r → r 2 d τ '

∇ × A → = 0   ∇ × B → = 0

∇ × A → = B →   ∇ × B → = μ 0 J

Por analogia, temos:

  B → → A →

μ 0 J → → B →

Assim, temos que:

A → = 1 4 π ∫ B → × r → r 2 d τ

Passo 2

Letra (b)

Maneira mais simples de obter V em termos de E → é explorar a seguinte regra do produto:

∇ ∙ E → 1 r = ∇ ∙ 1 r ∙ E → + 1 r ∇ ∙ E →

Vamos começar com a expressão para V .

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r d τ ; ∇ ∙ E → = ρ ϵ 0

Após algumas manipulações algébricas e uso do teorema da divergência, temos:

V = 1 4 π ∮ E → r ∙ d a → - 1 4 π ∫ E → r → r 2 d τ

A integral de superfície desaparece quando cobrimos todo o espaço, finalmente:

V = - 1 4 π ∫ E → r → r 2 d τ

Tranquilão? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

A → = 1 4 π ∫ B → × r → r 2 d τ

Letra (b)

v e r   p a s s o   a   p a s s o