Uma mesa giratória recorde de raio R gira na velocidade angular ω (Fig. 12.15). A circunferência é presumivelmente contraída por Lorentz, mas o raio (sendo perpendicular à velocidade) não é. Qual é a razão entre a circunferência e o diâmetro, em termos de ω e R? De acordo com as regras da geometria comum, tem que ser π. O que está acontecendo aqui ? 9

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

A contração de Lorentz, existem dois quadros de referência em que um observador viu o objeto de um quadro de referência para outro, isso mostra o conceito de relatividade.

A expressão do momento relativístico é,

p = γ m 0 v

A expressão do fator de Lorentz é

γ = 1 1 - v 2 c 2

A expressão da velocidade linear em termos da velocidade angular se dar como

v = ω R

A circunferência do círculo é

c = 2 π R

Passo 2

No referencial inercial para outro referencial o raio do campo circular não se gasta ou se contrai porque o raio permanece o mesmo. Mas para considerar a circunferência deve haver uma contração de Lorentz para um valor menor do que em repouso por um fator de Lorentz γ .

Portanto, a circunferência do disco é

c = 1 γ ( 2 π R )

De acordo com a relatividade especial, um objeto não pode permanecer rígido na relatividade, mas se o disco atingir uma velocidade angular constante diferente de zero, ele mantém a rigidez sem violar a relatividade especial.

Agora iremos substituir algumas informações que já temos, no caso o valor do gamma, na expressão a seguir:

c = 1 γ ( 2 π R )

c = ( 2 π R ) 1 - v 2 c 2

A expressão para a expressão do diâmetro é

d = 2 R

A razão entre a circunferência e o diâmetro é calculada da seguinte maneira

R a z ã o = C i r c u n f e r e n c i a   D i a m e t r o

C i r c u n f e r e n c i a   D i a m e t r o = ( 2 π R ) 1 - v 2 c 2 2 R

C i r c u n f e r e n c i a   D i a m e t r o = π 1 - ω 2 R 2 c 2

Passo 3

Portanto, a razão entre a circunferência e o diâmetro é

C i r c u n f e r e n c i a   D i a m e t r o = π 1 - ω 2 R 2 c 2

Pela geometria euclidiana a expressão acima da razão entre a circunferência e o diâmetro é igual a π

“OK, isso foi legal.”

Resposta

C i r c u n f e r e n c i a   D i a m e t r o = π 1 - ω 2 R 2 c 2