Mostre que a aceleração ( ordinária) de uma partícula de massa m e carga q, movendo-se à velocidade u sob a influencia dos campos eletromagnéticos E e B , é dada por:

a = q m 1 - u 2 c 2   E + u × B - 1 c 2 u u ∙ E

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Provamos no exercício 36 que:

F = m 1 - u 2 c 2 a + u u ∙ a c 2 - u 2   ,

Sendo o campo influenciado pelos campos eletromagnéticos, logo:

F = q E + q   u × B = q E + u × B

Logo:

q E + u × B = m 1 - u 2 c 2 a + u u ∙ a c 2 - u 2  

Brincadeiras à parte, bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim:

q m 1 - u 2 c 2 E + u × B = a + u u ∙ a c 2 - u 2

Multiplicando pelo produto escalar em u:

De um lado:

u ∙ a + u 2 u ∙ a c 2 1 - u 2 c 2 = u ∙ a 1 - u 2 c 2

Do outro lado:

q m 1 - u 2 c 2 E ∙ u + u ∙ u × B

O segundo termo u ∙ u × B é nulo por definição. Logo:

q m 1 - u 2 c 2 E ∙ u + u ∙ u × B = q m 1 - u 2 c 2 E ∙ u

Assim ficando:

u ∙ a 1 - u 2 c 2 = q m 1 - u 2 c 2 u ∙ E

Passo 3

Novamente multiplicando por u, mas agora sem o produto escalar:

u u ∙ a 1 - u 2 c 2 = q m 1 - u 2 c 2 u u ∙ E

Então:

a = q m 1 - u 2 c 2 E + u × B - 1 c 2 u u ∙ E

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)