Enunciado

a) Mostre que a corrente no k-ésimo ramo do circuito da Figura P3.22(a) é igual à correente da fonte i g vezes a condutância do k-ésimo ramo, dividida pela soma das condutâncias, isto é,

i g = i g G k G 1 + G 2 + G 3 + … + G k + … + G N

b) Use o resultado derivado em (a) para calcular a corrente no resistor de 5   Ω no circuito da Figura P3.22(b).

Figura 3.22 (a)

Figura 3.22 (b)

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos terminar esta seção deste capítulo com o pé direito, “matando” essa questão que é “mamão com açúcar”. Vamos fazê-la da seguinte maneira: 1 passo para cada letra.

Passo 2

a)

Vamos olhar para a figura abaixo. É possível perceber uma característica entre os resistores: Todos estão em paralelo. Isso significa que a queda de tensão em cada um é a mesma. Assim, vamos chamar essa tensão de v . Paralelamente (olha o trocadilho aqui) percebemos que também podemos fazer uso da Lei de Kirchhoff das Correntes da seguinte maneira: A soma da corrente que entra ( i g ) é igual a soma das correntes que saem (a corrente em cada ramo).

Então, vamos expressar isso numa fórmula matemática:

i g = v R 1 + v R 2 + … + v R N = v 1 R 1 + 1 R 2 + ⋯ + 1 R N

No entanto, o enunciado da questão está mostrando o resultado em função da condutância que é o inverso da resistência. Sendo assim, vamos transformar a expressão anterior usando este fato de uma grandeza ser a inversa da outra:

i g = v ( G 1 + G 2 + ⋯ + G N )

Show!

Então, isolando v na equação anterior, obtemos

v = i g G 1 + G 2 + ⋯ + G N

Passo 3

Agora, vamos pensar no seguinte:

A corrente no resistor 1 é dada por i 1 = v ⋅ G 1 ; a corrente no resistor 2 é dada por i 2 = v ⋅ G 2 ; e assim sucessivamente. Logo, é natural pensarmos que a corrente no k-ésimo ramo será dada por i k = v ⋅ G k .

Então, vamos expressar i k como na expressão anterior, mas ao invés de usar v , vamos usar o resultado do Passo 2:

i k = v ⋅ G k = i g G 1 + G 2 + ⋯ + G N ⋅ G k = i g ⋅ G k G 1 + G 2 + ⋯ + G N

Passo 4

b)

Uma vez que encontramos a fórmula do termo geral, tudo o que temos que fazer é substituir valores, mas temos que tomar cuidado com um pequeno detalhe: A resistência do k-ésimo termo é 5   Ω , o que significa que a condutância será o inverso deste valor, ou seja, G = 0,2   S , assim como as demais resistências:

i o = 40 ⋅ 0,2 1 0,5 + 1 5 + 1 8 + 1 10 + 1 20 + 1 40 = 8 2 + 0,2 + 0,125 + 0,1 + 0,05 + 0,025

i o = 3,2   A

E assim, chegamos ao final desta seção. Vamos para a próxima?!

Resposta

b )   i o = 3,2   A

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule i e v_a b .
Calcule i_1 , i_2 e v_a b .
Calcule v.
Construa um divisor de tensão com uma fonte de 60 V e vários resistores de 10 kΩ. Calcule o número mínimo de resistores necessários, se a tensão de saída é (a) 40V e (b) 30V.
Calcule i e a potência entregue ao resistor de 4Ω.