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Enunciado

Física - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 39

Mostre que:

K_mu K^(mu) = ((1 - ((u^2)/(c^2)) cos^2 theta))/(1 - (u^2)/(c^2)) F^2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Sabemos que:

K_mu K^(mu) = - (K^0)^2 + K * K

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos pela equação 12.70 temos que:

K = (F)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2)))

Logo:

K * K = (F^2)/(1 - (u^2)/(c^2))

E a equação 12.71 nos diz que:

K^0 = (d p^0)/(d tau) = (1)/(c) (d E)/(d tau)

K^0 = (1)/(c) (1)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) (d)/(d t) ((m c^2)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))))

K^0 = (m)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) [(- (1)/(2)) (((- (1)/(c^2)))/((1 - (u^2)/(c^2))^((3)/(2)))) 2 u * a]

K^0 = (m c ((1)/(c^2)) (u * a))/((1 - (u^2)/(c^2))^2)

K^0 = ((u * F))/(c) (1)/((1 - (u^2)/(c^2))^2)

Passo 3

Mas:

m (u * a) = u * F = u F cos theta

E a equação 12.73 nos diz que:

F = (m)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) [a + ((u (u * a)))/(c^2 - u^2)]

Assim:

u * F = (m)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) [u * a + ((u^2 (u * a)))/(c^2 - u^2)]

Mas :

c^2 - u^2 = c^2 (1 - (u^2)/(c^2))

u * F = (m)/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) [u * a + ((u^2 (u * a)))/((c^2 (1 - (u^2)/(c^2))))]

u * F = (m ( u * a ))/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) [1 + ((u^2))/((c^2 (1 - (u^2)/(c^2))))]

u * F = (m (u * a))/(sqrt(1 - (u^2)/(c^2))) [+ (1)/(((1 - (u^2)/(c^2))))] = (m (u * a))/((1 - (u^2)/(c^2))^((3)/(2)))

Deste modo, substituindo na equação que tínhamos antes, temos:

K^0 = (u F cos theta)/(c sqrt(1 - (u^2)/(c^2)))

Logo:

(K^0)^2 = (u^2 F^2 cos^2 theta)/(c^2 (1 - (u^2)/(c^2)))

Assim:

K_mu K^(mu) = (F^2)/(1 - (u^2)/(c^2)) - ((u^2 F^2 cos^2 theta))/(c^2 (1 - (u^2)/(c^2))) = (F^2)/(1 - (u^2)/(c^2)) [(1) - (u^2 cos^2 theta)/(c^2)] c . q . d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)