a) Mostre que
[Dica: use integração por partes.]
b) Assuma que é a função degrau
Mostre que .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Nosso trabalho é provar que
Para isso, temos que mostrar que
Para toda função . Nós temos que
E com isso,
Desde que é zero ao infinito, o termo se extingue. O último termo é igual a
E assim a equação 2 segue e 1 é provada.
Passo 2
Para provar a relação
Nós temos que mostrar
Isso é esperado, uma vez que é constante em todos os lugares, exceto na origem, e assim sua derivada se anula. Sua derivada formalmente não existe na origem, pois o limite
Não existe!!! Se tomarmos uma sequência de números negativos se aproximando de 0, então o limite é
Se é a sequência de números positivos, e com isso,
Portanto, isso quase coincide com nossa noção da função delta como uma "função" igual ao infinito em zero. Lembre-se que a expressão 3 é simbólica: as distribuições devem aparecer sob a integral.
Passo 3
Neste ponto, não podemos avançar mais se não falarmos um pouco mais sobre as funções que podem aparecer ao lado da função delta sob a integral. Formalmente, é uma função linear de um espaço vetorial das funções de teste em é definida por . Para nossos propósitos é suficiente saber que as funções de teste em são iguais a zero fora de algum segmento finito. Portanto,
Desenvolvendo os termos
Que tem como resultado
Lembra que
Com isso, nós temos que
Resposta
Respondido acima!