a) Mostre que

x d d x δ x = - δ ( x )

[Dica: use integração por partes.]

b) Assuma que θ ( x ) é a função degrau

θ x = 1 ,     s e   x > 0 0 ,     s e   x ≤ 0

Mostre que d θ d x = δ ( x ) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Nosso trabalho é provar que

x d d x δ x = - δ ( x )

Para isso, temos que mostrar que

∫ - ∞ ∞ x f x d d x δ x   d x   = - ∫ - ∞ ∞ f x δ x   d x

Para toda função f . Nós temos que

∫ - ∞ ∞ x f x d d x δ x   d x   = x f x δ ( x ) - ∞ ∞ - ∫ - ∞ ∞ x f x d d x δ x   d x  

E com isso,

∫ - ∞ ∞ x f x d d x δ x   d x   = - ∫ - ∞ ∞ f x δ x   d x - ∫ - ∞ ∞ x f ' x δ x   d x

Desde que δ ( x ) é zero ao infinito, o termo x f x δ x | - ∞ ∞ se extingue. O último termo é igual a

∫ - ∞ ∞ x f ' x δ x   d x = x f ' x 0 = 0

E assim a equação 2 segue e 1 é provada.

Passo 2

Para provar a relação

d d x θ x = δ x

Nós temos que mostrar

∫ - ∞ ∞ f x d θ x d x   d x = ∫ - ∞ ∞ f x δ x   d x = f 0

Isso é esperado, uma vez que θ é constante em todos os lugares, exceto na origem, e assim sua derivada se anula. Sua derivada formalmente não existe na origem, pois o limite

lim x → 0 ⁡ θ x x

Não existe!!! Se tomarmos uma sequência x n de números negativos se aproximando de 0, então o limite é

lim n → ∞ ⁡ θ x n x n = 0

Se y n é a sequência de números positivos, e com isso,

lim n → ∞ ⁡ θ y n y n = lim n → ∞ ⁡ 1 y n = ∞

Portanto, isso quase coincide com nossa noção da função delta como uma "função" igual ao infinito em zero. Lembre-se que a expressão 3 é simbólica: as distribuições devem aparecer sob a integral.

Passo 3

Neste ponto, não podemos avançar mais se não falarmos um pouco mais sobre as funções que podem aparecer ao lado da função delta sob a integral. Formalmente, δ é uma função linear de um espaço vetorial das funções de teste em R é definida por δ f = f 0 = ∫ - ∞ ∞ f x δ x   d x . Para nossos propósitos é suficiente saber que as funções de teste em R são iguais a zero fora de algum segmento finito. Portanto,

∫ - ∞ ∞ f x d θ x d x d x = f x θ x - ∞   ∞ - ∫ - ∞ ∞ f ' x θ x   d x

Desenvolvendo os termos

∫ - ∞ ∞ f x d θ x d x d x = - ∫ 0 + ∞ f ' x   d x

Que tem como resultado

∫ - ∞ ∞ f x d θ x d x d x = - f x 0 + ∞ = f ( 0 )

Lembra que

f 0 = ∫ - ∞ ∞ f x δ x   d x

Com isso, nós temos que

∫ - ∞ ∞ f x d θ x d x d x = ∫ - ∞ ∞ f x δ x   d x ∴

Resposta

Respondido acima!