a) Mostre diretamente que as Equações 9.197 satisfazem as equações de Maxwell (9.177) e as condições de contorno 9.175.

b) Encontre a densidade de carga, λ ( z , t ) e a corrente, I ( z , t ) , no condutor interno.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, os campos elétrico e magnético são:

E → = A cos ⁡ k z - ω t s s ^

B → = A cos ⁡ k z - ω t s c ϕ ^

A - Vamos agora verificar se as equações de Maxwell para o vácuo são satisfeitas:

∇ ∙ E → = 1 s ∂ ∂ s s E s = 0

∇ ∙ B → = 1 s ∂ B ϕ ∂ ϕ = 0

Para a terceira e quarta equação de Maxwell:

∇ × E → = ϕ ^ ∂ E s ∂ z = - ϕ ^ A sin ⁡ k z - ω t s k = - ϕ ^ A sin ⁡ k z - ω t s c ω

Com isso, nós temos que

∂ B → ∂ t = ϕ ^ A sin ⁡ k z - ω t s c ω

Temos, portanto, que

∇ × E → = - ∂ B → ∂ t

Passo 2

Para o caso do rotacional de B → , nós temos que

∇ × B → = - s ^ ∂ B ϕ ∂ z + 1 s ∂ ∂ s s B ϕ z ^

Com isso, nós temos que

∇ × B → = - s ^ ∂ B ϕ ∂ z = s ^ A sin ⁡ k z   - ω t s c k

Logo,

1 c 2 ∂ E → ∂ t = 1 c 2 ω A sin ⁡ k z - ω t s = s ^ A sin ⁡ k z   - ω t s c k

Portanto,

∇ × B → = 1 c 2 ∂ E → ∂ t  

Portanto, todas as equações de Maxwell para o espaço livre são satisfeitas por essas soluções. Como o campo elétrico é radial e o campo magnético é circunferencial, as condições de contorno são automaticamente satisfeitas.

Passo 3

B - Ambos os campos elétrico e magnético exibem simetria circunferencial, então escolhendo um cilindro gaussiano para o campo elétrico e um loop amperiano para o campo magnético:

2 π l s E = λ l ϵ 0 → λ = 2 π s E ϵ 0

Lembra que E = A cos ⁡ ( k z - ω t ) ? Então vamos utilizar essa propriedade

λ = 2 π ϵ 0 A cos ⁡ k z - ω t

Partindo para o outro ponto,

2 π s B = μ 0 I → I = 2 π B μ 0 s

Fazendo as devidas substituições, nós temos que

I = 2 π μ 0 A cos ⁡ ( k z - ω t ) c

Resposta

a) Os campos satisfazem todas as equações de Maxwell e as condições de contorno.

b )   λ = 2 π ϵ 0 A cos ⁡ k z - ω t ;     I = 2 π μ 0 A cos ⁡ ( k z - ω t ) c