a) Mostre que a energia de um dipolo magnético em um campo magnético B é dada por

U =   - m   .   B               ,

[Assuma que a m a g n i t u d e do momento de dipolo é f i x a , e que tudo o que você tem a fazer é colocá-lo no lugar e rodá-lo até sua orientação final. A energia necessária para manter a corrente fluindo é um outro problema que iremos abordar no Capítulo 7.] Compare à Equação 4.6.

b) Mostre que a energia de interação de dois dipolos magnéticos separados por um deslocamento r é dada por:

U = μ 0 4 π 1 r 3   [   m 1   .   m 2 - 3 m 1   .   r ^ m 2   .   r ^ ]

c) Expresse sua resposta para b) em termos dos ângulos θ 1 e θ 2 na Figura 6.30, e use o resultado para encontrar a configuração estável que dois dipolos adotariam se mantidos a uma distância fixa, mas deixados livres para girar.

d) Suponha que você tem uma grande coleção de agulhas de bússola montadas em pinos a intervalos regulares ao longo de uma linha reta. Em que direção elas aprontariam (assumindo-se que o campo magnético da Terra pode ser desprezado)? [Um arranjo retangular de agulhas de bússola também se alinha espontaneamente e isso é às vezes usado como demonstração do comportamento “ferromagnético” em grande escala. Mas é de certa forma um embuste. Já que esse mecanismo é puramente clássico e muito mais fraco do que as forças de interação de troca da mecânica quântica que são na realidade responsáveis pelo ferromagnetismo.]

Passo 1

a) Faaala, pessoal! Bora pra mais uma. Primeiramente, para fazer essa demonstração, vamos ter que lembrar que o torque em um dipolo magnético é dado por:

τ → = m → × B →

Em que:

m → m o m e n t o   d e   d i p o l o

B → c a m p o   m a g n é t i c o

Temos também que a energia potencial associada é igual ao trabalho necessário para mudar a orientação do dipolo, logo, se tivermos variação no ângulo θ vamos integral o conjugado em relação a θ , obtendo:

U = ∫ τ   d θ = ∫ m B   s e n   θ d θ =   - m B c o s   θ =   - m → . B →  

Portanto:

U = - m → . B →  

Passo 2

b) Neste item, devemos lembrar que o campo magnético devido a um dipolo m 1 é dado pela seguinte expressão:

B → 1 = μ 0 4 π 1 r 3 [ 3 m → 1   .   r ^ r ^ - m → 1 ]

E além disso, a energia de interação entre um dipolo m 1 e um dipolo m 2 é dada por:

U =   - m → 2   .   B → 1 = μ 0 4 π 1 r 3 m → 1 . m → 2 - 3 m → 1   .   r ^ m → 2   .   r ^

E então:

U = μ 0 4 π 1 r 3 m → 1 . m → 2 - 3 m → 1   .   r ^ m → 2   .   r ^

Passo 3

c) Expressando a equação anterior em termos dos ângulos θ 1   e   θ 2 , teremos que:

U = μ 0 4 π 1 r 3 m → 1 . m → 2 - 3 m → 1   .   r ^ m → 2   .   r ^

= μ 0 4 π 1 r 3 m 1 . m 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) - 3 m 1 cos ⁡ θ 1 m 2 cos ⁡ θ 2  

= μ 0 4 π m 1 m 2 r 3 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + s e n   θ 1 s e n   θ 2 - 3 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2  

=   μ 0 4 π m 1 m 2 r 3 s e n   θ 1 s e n   θ 2 - 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

E assim fica a expressão da equação anterior em termo dos ângulos:

U = μ 0 4 π m 1 m 2 r 3 s e n   θ 1 s e n   θ 2 - 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2  

A posição estável se encontra nas condições de energia mínima, ou em que:

∂ U ∂ θ 1 = ∂ U ∂ θ 2 = 0

Portanto faremos as derivadas parciais da expressão, para encontrá-la:

∂ U ∂ θ 1 = μ 0 4 π m 1 m 2 r 3 ( cos ⁡ θ 1 s e n   θ 2 + 2 s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 ) = 0

2 s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 = - cos ⁡ θ 1 s e n   θ 2  

∂ U ∂ θ 2 = μ 0 4 π m 1 m 2 r 3 s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ θ 1 s e n   θ 2 = 0

2 s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 =   - 4 cos ⁡ θ 1 s e n   θ 2

Para que as igualdades sejam satisfeitas:

s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 =   cos ⁡ θ 1 s e n   θ 2 = 0

E com isso:

O u               s e n   θ 1 = s e n   θ 2 = 0   :       1 º →   →         o u           2 º → ← O u           cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ θ 2 = 0   :         3 º   ↑ ↑               o u             4 º   ↑ ↓

Dos quatro casos, o único em que m 2 se alinha com B 1 e com a menor energia possível é o caso 1.

Portanto, os dois dipolos se alinharam paralelamente na seguinte direção: → →

Passo 4

d) Como visto anteriormente, a posição mais estável para a configuração de dipolos é:

P o s i ç ã o   e s t á v e l   :         → →

Portanto as agulhas ficaram apontadas da seguinte forma:

→   →   →   → …

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😉

Resposta

a)

U = ∫ τ   d θ = ∫ m B   s e n   θ d θ =   - m B c o s   θ =   - m → . B →  

b)

U =   - m → 2   .   B → 1 = μ 0 4 π 1 r 3 m → 1 . m → 2 - 3 m → 1   .   r ^ m → 2   .   r ^

c)

U = μ 0 4 π m 1 m 2 r 3 s e n   θ 1 s e n   θ 2 - 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

c o n f i g u r a ç ã o   m a i s   e s t á v e l   :         →   →

d)

→   →   →   → …