a) Mostre que a energia de um dipolo magnético em um campo magnético é dada por
[Assuma que a do momento de dipolo é , e que tudo o que você tem a fazer é colocá-lo no lugar e rodá-lo até sua orientação final. A energia necessária para manter a corrente fluindo é um outro problema que iremos abordar no Capítulo 7.] Compare à Equação 4.6.
b) Mostre que a energia de interação de dois dipolos magnéticos separados por um deslocamento é dada por:
c) Expresse sua resposta para b) em termos dos ângulos e na Figura 6.30, e use o resultado para encontrar a configuração estável que dois dipolos adotariam se mantidos a uma distância fixa, mas deixados livres para girar.
d) Suponha que você tem uma grande coleção de agulhas de bússola montadas em pinos a intervalos regulares ao longo de uma linha reta. Em que direção elas aprontariam (assumindo-se que o campo magnético da Terra pode ser desprezado)? [Um arranjo retangular de agulhas de bússola também se alinha espontaneamente e isso é às vezes usado como demonstração do comportamento “ferromagnético” em grande escala. Mas é de certa forma um embuste. Já que esse mecanismo é puramente clássico e muito mais fraco do que as forças de interação de troca da mecânica quântica que são na realidade responsáveis pelo ferromagnetismo.]
Passo 1
a) Faaala, pessoal! Bora pra mais uma. Primeiramente, para fazer essa demonstração, vamos ter que lembrar que o torque em um dipolo magnético é dado por:
Em que:
Temos também que a energia potencial associada é igual ao trabalho necessário para mudar a orientação do dipolo, logo, se tivermos variação no ângulo vamos integral o conjugado em relação a , obtendo:
Portanto:
Passo 2
b) Neste item, devemos lembrar que o campo magnético devido a um dipolo é dado pela seguinte expressão:
E além disso, a energia de interação entre um dipolo e um dipolo é dada por:
E então:
Passo 3
c) Expressando a equação anterior em termos dos ângulos , teremos que:
E assim fica a expressão da equação anterior em termo dos ângulos:
A posição estável se encontra nas condições de energia mínima, ou em que:
Portanto faremos as derivadas parciais da expressão, para encontrá-la:
Para que as igualdades sejam satisfeitas:
E com isso:
Dos quatro casos, o único em que se alinha com e com a menor energia possível é o caso 1.
Portanto, os dois dipolos se alinharam paralelamente na seguinte direção:
Passo 4
d) Como visto anteriormente, a posição mais estável para a configuração de dipolos é:
Portanto as agulhas ficaram apontadas da seguinte forma:
E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😉
Resposta
a)
b)
c)
d)