Enunciado

(a) Mostre que as equações de Maxwell com carga magnética (Equação 7.43) são invariantes sob a transformação de dualidade.

E ' = E cos ⁡ α + c B   s e n   α c B ' = c B cos ⁡ α - E   s e n   α c q e ' = c q e cos ⁡ α + q m s e n   α q m ' = q m cos ⁡ α - c q e   s e n   α

Onde c = 1 / ϵ 0 μ 0 e α é um ângulo de rotação arbitrário no ‘espaço E / B ’. As densidades de carga e corrente se transforma da mesma forma que q e e q m . [Isso significa, sobretudo, que se você conhece os campos produzidos por uma configuração de carga elétrica, pode imediatamente (usando α = 90 o ) escrever os campos produzidos pelo arranjo correspondente de carga magnética.]

(b) Mostre que a lei de força (Problema 7.35)

F = q e E + v × B + q m B - 1 c 2 v × E

É também invariante sob a transformação de dualidade.

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, precisamos provar os teoremas que o enunciado nos diz, o que significa que temos que manipular algebricamente as equações encontrar os resultados pedidos. Então, bora láa!!!

Passo 2

Primeiro, vamos provar as equações de Maxwell.

Equação 1:

∇ ∙ E ' = cos ⁡ α   ∇ ∙ E + c   s e n   α   ∇ ∙ B

= cos ⁡ α ρ e ϵ 0 + c   s e n   α   μ 0 ρ m

= 1 ϵ 0 cos ⁡ α ρ e + 1 c s e n   α   ρ m

= ρ e ' ϵ 0

Equação 2:

∇ × E ' = cos ⁡ α ∇ × E + c   s e n   α   ∇ × B

= cos ⁡ α - μ 0 J m - ∂ B ∂ t + c   s e n   α   μ 0 J e + μ ϵ 0 ∂ E ∂ t

= - 1 c ∂ ∂ t c cos ⁡ α B - s e n   α   E - μ 0 cos ⁡ α J m - c   s e n   α   J e

= - 1 c ∂ ∂ t c B ' - μ 0 J ' m

= ∂ B ' ∂ t - μ 0 J ' m

Equação 3:

∇ ∙ B ' = cos ⁡ α ∇ ∙ B - 1 c s e n   α   ∇ ∙ E

= cos ⁡ α   μ 0 ρ m - 1 c s e n   α   ρ e ϵ 0

= μ 0 cos ⁡ α ρ m - 1 c s e n   α   ρ e ϵ 0 μ 0

= μ 0 cos ⁡ α   ρ m - c   s e n   α   ρ e

= μ 0 ρ m '

Equação 4:

∇ × B ' = cos ⁡ α   ∇ × B - 1 c s e n   α   ∇ × E

= cos ⁡ α μ 0 J e + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t - 1 c s e n   α   - μ 0 J m - ∂ B ∂ t

= μ 0 cos ⁡ α J e + 1 c s e n   α   J m + μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t cos ⁡ α E + c   s e n   α   B

= μ 0 J m + μ 0 ϵ 0 ∂ E ' ∂ t

Passo 3

Para a lei da força, temos o seguinte:

F = q ' e E ' + v × B ' + q ' m B ' - 1 c 2 v × E '

= q e cos ⁡ α + 1 c q m s e n   α cos ⁡ α E + c   s e n   α   B + ( cos ⁡ α v × B - 1 c s e n   α   v × E + q m cos ⁡ α - c q e s e n   α cos ⁡ α B - 1 c   s e n   α   E - 1 c 2 ( cos ⁡ α v × E + 1 c s e n   α   v × B

Separando os termos em q e e q m e simplificando, encontramos:

F = q e E + v × B + q m B - 1 c 2 v × E

Resposta

Resolução nos passos anteriores.