Enunciado

Mostre que, se uma fonte equilibrada, de sequência positiva, é conectada por meio de três fios perfeitamente condutores a uma carga equilibrada tenho impedâncias de fase Z p = Z p ∠ 0 ° , então os dois wattímetros, conectados como mostrado na Fig. 13.20, lerão, respectivamente, P A e P C , onde:

P A P C = cos ⁡ 30 ° + θ cos ⁡ 30 ° - θ

A partir desse resultado, mostre que

tan ⁡ θ = 3 P C - P A P C + P A

Então, podemos encontrar o fator de potência da carga, cos ⁡ θ , a partir das leituras dos dois wattímetros.

Passo 1

Vaaaalha como a gente prova isso???

Calma, calma, calma! A primeira coisa que você deve lembrar é da seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a cos ⁡ b ∓ s e n   a   s e n   b

Agora é passar essa identidade para a equação dada no enunciado:

P A P C = cos ⁡ 30 ° + θ cos ⁡ 30 ° - θ

Passo 2

Assim, temos que, para cos ⁡ 30 ° + θ :

cos ⁡ 30 ° + θ = cos ⁡ 30 ° cos ⁡ θ - s e n   30 °   s e n   θ ∴

cos ⁡ 30 ° + θ = 3 2 cos ⁡ θ - 1 2 s e n   θ ∴  

cos ⁡ 30 ° + θ = 3 cos ⁡ θ - s e n   θ 2

Analogamente, para cos ⁡ 30 ° - θ , temos:

cos ⁡ 30 ° - θ = 3 cos ⁡ θ + s e n   θ 2

Passo 3

Substituindo os dois termos na equação dada no enunciado, temos:

P A P C = 3 cos ⁡ θ - s e n   θ 3 cos ⁡ θ + s e n   θ ∴

P A 3 cos ⁡ θ + P A s e n   θ = P C 3 cos ⁡ θ - P C s e n   θ ∴

s e n   θ P A + P C = 3 cos ⁡ θ P C - P A ∴

s e n   θ cos ⁡ θ = 3 P C - P A P A + P C ∴

tan ⁡ θ = 3 P C - P A P A + P C

Viu como é simples?! É só lembrar da identidade trigonométrica que fica xuxu beleza haha!

Resposta

tan ⁡ θ = 3 P C - P A P A + P C

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