A – Mostre que

int f (grad xx A) * d a = int [A xx (grad f)] * d a + oint f A * d l

B – Mostre que

int B * (grad xx A) * d tau = int A * (grad xx B) d tau + oint ( A xx B ) * d a

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Seja S uma superfície orientada com limite C , uma curva orientada cuja orientação é compatível com a orientação de S e seja f uma função e A um campo vetorial. Nossa tarefa é provar que

int f (grad xx A) * d a = int [A xx (grad f)] * d a + oint f A * d l

Usaremos a seguinte identidade

grad xx (f A) = f (grad xx A) - A xx grad f

Aplicando o teorema de Stokes ao campo vetorial f A obtemos

oint f A * d l = int grad xx (f A) * d a

Expandindo a integral da direita

oint f A * d l = int (f (grad xx A) - A xx grad f) * d a

E dividindo as integrais

oint f A * d l = int f (grad xx A) * d a - int A xx grad f * d a

Rearranjando os termos, nós obtemos a equação da letra a)

int f (grad xx A) * d a = int [A xx (grad f)] * d a + oint f A * d l

Passo 2

B - Em seguida, seja V um volume cuja fronteira seja uma superfície S e sejam A e B campos vetoriais. Nossa tarefa é provar que

int B * (grad xx A) * d tau = int A * (grad xx B) d tau + oint ( A xx B ) * d a

Estamos novamente usando uma identidade

grad * (A xx B) = B * (grad xx A) - A * (grad xx B)

Podemos empregar o teorema da divergência de Gauss no campo vetorial A xx B :

oint A xx B * d a = int grad * (A * B) d tau

Expandindo o termo grad * (A * B)

grad * (A * B) = (B * (grad xx A) - A * (grad xx B))

Com isso, nós temos que

oint A xx B * d a = int (B * (grad xx A) - A * (grad xx B)) d tau

Dividindo a integral a direita

oint A xx B * d a = int (B * (grad xx A)) d tau - int (A * (grad xx B)) d tau

Novamente, organizando os termos nos dá a equação 2.

int B * (grad xx A) * d tau = int A * (grad xx B) d tau + oint ( A xx B ) * d a

Resposta

Respondido acima!