Mostre que o potencial escalar de uma carga pontual movendo-se a velocidade constante (Equação 10.42) pode ser escrito de forma equivalente como

V = 1 4 π ϵ 0 q R 1 - v 2 sen 2 ⁡ θ c 2

Onde R ≡ r - v t é o vetor posição presente (!) da partícula para o ponto r de campo, e θ é o ângulo entre R e v (Figura 10.9). Evidentemente, para velocidades não relativísticas ( v 2 ≪ c 2 ) .

V r , t = 1 4 π ϵ 0 q R

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O potencial da partícula é igual a:

V r → , t = 1 4 π ϵ 0 q c c 2 t - r → ∙ v → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2

Precisamos de alguma forma "puxar" o fator de Rc do denominador. A expressão sob a raiz é:

c 2 t - r → ∙ v → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 = c 4 t 2 - 2 c 2 t r → ∙ v → + r → ∙ v → 2 + c 2 r 2 - c 4 t 2 - v 2 r 2 + v 2 c 2 t 2

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

c 2 t - r → ∙ v → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 = - 2 c 2 t r → ∙ v → + r → ∙ v → 2 + c 2 r 2 + v 2 c 2 t 2

Como o vetor R → = r → - v t → → R 2 = r 2 + v 2 t 2 - 2 t v → ∙ r → , com isso, nós temos que

R → = c 2 R 2 + r → ∙ v → 2 - v 2 r 2

Passo 2

Agora, os outros dois termos são iguais a:

r → ∙ v → 2 - v 2 r 2 = - v 2 R 2 sen 2 ⁡ θ

Onde θ é o ângulo que a velocidade faz com o vetor   R → . A expressão sob a raiz é então:

c 2 t - r → ∙ v → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 = c 2 R 2 - v 2 R 2 sen 2 ⁡ θ

Com isso, nós temos que

c 2 t - r → ∙ v → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 = c 2 R 2 ( 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ )

Portanto, o potencial é, finalmente:

V = 1 4 π ϵ 0 q R 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ   ∴

Como nos foi pedido para provar.

Resposta

V = 1 4 π ϵ 0 q R 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ