a) Mostre que a profundidade de penetração em um mau condutor ( σ ≪ ω ϵ ) é 2 σ ϵ / μ (independente da frequência). Encontre a profundidade de penetração (em metros) para a água (pura).

b) Mostre que a profundidade de penetração em um bom condutor ( σ ≫ ω ϵ ) é λ / 2 π (onde λ é o comprimento de onda dentro do condutor). Encontre a profundidade de penetração (em nanômetros) para um metal típico σ ≈ 10 7   Ω ∙ m - 1 no espectro visível ω ≈ 10 15 s , assumindo que ϵ ≈ ϵ 0 e μ ≈ μ 0 . Por que os metais são opacos?

c) Mostre que em um bom condutor, o campo magnético atrasa-se 45 ° em relação ao campo elétrico, e encontre a razão entre suas amplitudes. Para um exemplo numérico, use o ‘metal típico’ da parte (b).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Para condutores ruins, a profundidade da pele é:

d = 1 k = 1 ω 2 ϵ μ 1 + σ ϵ ω 2 - 1 - 1 2  

Com isso, nós temos que

1 + σ ϵ ω 2 ≈ 1 + 1 2 σ ϵ ω 2

Logo, d é aproximadamente

d ≈ 1 ω 2 ϵ μ 1 + 1 2 σ ϵ ω 2 - 1 - 1 2

Que será igual a

d = 1 ω 2 ϵ μ 2 ϵ ω σ = 2 σ ϵ μ

Portanto,

d ≈ 2 σ ϵ μ

Que é independente do valor da frequência. Usando os valores para as constantes que podem ser encontrados nas Tabelas 4.2, 6.1 e a condutividade (todos em SI), a profundidade é de:

ϵ = 80,1 ϵ 0

μ = μ 0 1 + χ m ≈ μ 0

σ = 5,5 ∙ 10 - 6

Logo, d é igual a

d = 8638,69   m

Passo 2

b) Para bons condutores, nós temos que

1 + σ ϵ ω 2 - 1 ≈ σ ω ϵ

Com isso, d tem o seguinte valor aproximado

d ≈ 1 ω 2 ϵ μ σ ω ϵ - 1 2 = 2 μ ω σ

O comprimento de onda é igual a

λ = 2 π k → λ 2 π = 1 k

A constante k é

k = ω ϵ μ 2 1 + σ ϵ ω 2 + 1 1 2 ≈ ω ϵ μ 2 σ ω ϵ = σ ω μ 2

Com isso,

λ 2 π = 1 k = 2 σ ω μ = d

Como nos foi pedido para provar. Usando os valores fornecidos para frequência e constantes, a profundidade é igual a:

d = 1,3 ∙ 10 - 8   m = 13   n m

A luz penetra apenas cerca de 13 nm de profundidade, então o metal é opaco.

Passo 3

c) a mudança de fase entre os campos magnético e elétrico é dada por:

ϕ = arctan ⁡ κ k

O termo dentro de t g - 1 é igual a

κ k = ω ϵ μ 2 1 + σ ϵ ω 2 - 1 1 2 ω ϵ μ 2 1 + σ ϵ ω 2 + 1 1 2 ≈ σ ω ϵ σ ω ϵ 1 2 = 1

Com isso, substituindo em ϕ

ϕ = arctan ⁡ 1 = π 4

A razão entre as magnitudes do campo magnético e do campo elétrico é, usando as aproximações de bons condutores e constantes fornecidas:

B 0 E 0 = ϵ μ 1 + σ ω ϵ 2 ≈ σ μ ω

Substituindo os valores, nós obtemos o seguinte resultado

B 0 E 0 ≈ 1,12 ∙ 10 - 7   m / s

Resposta

a )   d = 8638,69   m

b )   d = 13   n m

c )   B 0 E 0 ≈ 1,12 ∙ 10 - 7   m / s