Enunciado

Mostre que

x = x 1 + x 2 = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t

Também é uma solução da equação diferencial do Ex. 9.2.1

Passo 1

E aí pessoal,

para provar que essa função x ( t ) dada é uma solução dessa equação diferencial, vamos fazer que nem no exercício anterior, substituir os seus valores e das suas derivadas primeira e segunda na equação diferencial dada e verificar se a igualdade será mantida.

Passo 2

Para substituir x e suas derivadas, vamos primeiro calcular essas derivadas:

x = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t

d x d t = ( A 1 × - 2 × e - 2 t ) + ( A 2 × - 3 × e - 3 t )

d x d t =   - 2 A 1 e - 2 t - 3 A 2 e - 3 t

d 2 x d t 2 = - 2 A 1 × - 2 × e - 2 t + - 3 A 2 × - 3 × e - 3 t

d 2 x d t 2 = 4 A 1 e - 2 t + 9 e - 3 t

Passo 3

Sendo assim, ao substituir esses valores na equação diferencial, teremos:

d 2 x d t 2 + 5 d x d t + 6 x 1 = 0

4 A 1 e - 2 t + 9 A 2 e - 3 t + 5 - 2 A 1 e - 2 t - 3 A 2 e - 3 t + 6 A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t = 0

A 1 e - 2 t 4 - 10 + 6 + A 2 e - 3 t 9 - 15 + 6 = 0

A 1 e - 2 t 0 + A 2 e - 3 t 0 = 0

0 + 0 = 0

Opa, a igualdade foi mantida, isso é, o lado esquerdo e o lado direito da equação são iguais, por isso provamos que x = x 1 + x 2 = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t é uma resposta .

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