Enunciado

Para os valores de i 2 0 + , d i 2 0 + d t e v g dados no Ex. 9.1.2, mostre que i 2 no Ex. 9.1.1 é dado por i 2 = - 4 e - t + 7 e - 2 t - e - 6 t A

(Sugestão: Substitua a resposta na equação diferencial)

Passo 1

Fala galera, no exercício anterior, o Ex. 9.1.1, nós encontramos a seguinte equação diferencial:

d 2 i 2 d t 2 + 7 d i 2 d t + 6 i 2 = d v g d t

E queremos provar que a solução dessa equação será:

i 2 = - 4 e - t + 7 e - 2 t - e - 6 t A

Podemos começar encontrando a derivada da tensão v g que foi dada no exercício anterior:

d v g d t = d 14 e - 2 t d t = - 28 e - 2 t

Teremos, portanto:

d 2 i 2 d t 2 + 7 d i 2 d t + 6 i 2 = - 28 e - 2 t

E então vamos seguir a dica dada no enunciado, de substituir a resposta i 2 = - 4 e - t + 7 e - 2 t - e - 6 t na equação diferencial:

d 2 i 2 d t 2 + 7 d i 2 d t + 6 - 4 e - t + 7 e - 2 t - e - 6 t = - 28 e - 2 t

d 2 i 2 d t 2 + 7 d i 2 d t - 24 e - t + 42 e - 2 t - 6 e - 6 t = - 28 e - 2 t

d 2 i 2 d t 2 + 7 d i 2 d t = 24 e - t - 70 e - 2 t + 6 e - 6 t

Passo 2

Como sabemos o valor de i 2 = - 4 e - t + 7 e - 2 t - e - 6 t , podemos encontrar o valor de d i 2 d t :

d i 2 d t = + 4 e - t - 14 e - 2 t + 6 e - 6 t

E substituindo na equação diferencial teremos:

d 2 i 2 d t 2 + 7 d i 2 d t = 24 e - t - 70 e - 2 t + 6 e - 6 t

d 2 i 2 d t 2 + 7 + 4 e - t - 14 e - 2 t + 6 e - 6 t = 24 e - t - 70 e - 2 t + 6 e - 6 t

d 2 i 2 d t 2 + 28 e - t - 98 e - 2 t + 42 e - 6 t = 24 e - t - 70 e - 2 t + 6 e - 6 t

d 2 i 2 d t 2 = - 4 e - t + 28 e - 2 t - 36 e - 6 t

Passo 3

Por fim, podemos derivar a expressão da corrente i 2 novamente:

d i 2 d t = + 4 e - t - 14 e - 2 t + 6 e - 6 t

d 2 i 2 d t 2 = - 4 e - t + 28 e - 2 t - 36 e - 6 t

E vemos que essa expressão é idêntica a expressão que encontramos no final do Passo 2 em nossa equação diferencial, ao substituir teremos então a igualdade:

- 4 e - t + 28 e - 2 t - 36 e - 6 t = - 4 e - t + 28 e - 2 t - 36 e - 6 t

O que prova, portanto, que a solução dada no enunciado está correta.

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