Em notação complexa há um dispositivo engenhoso para descobrir a média temporal de um produto. Suponha que f r ,   t = A cos ⁡ ( k ∙ r - ω t + δ a ) e g r ,   t = B cos ⁡ ( k ∙ r - ω t + δ b ) . Mostre que f g = ( 1 / 2 ) R e ( f ~ g ~ * ) , onde o asterisco denota o conjugado complexo. [Observe que isto só funciona se as duas ondas tiverem os mesmos k e ω , mas não precisam ter a mesma amplitude ou fase.] Por exemplo,

u = 1 4 R e ( ϵ 0 E ~ ∙ E ~ + 1 μ 0 B ~ ∙ B ~ ) e S = 1 2 μ 0 R e ( E ~ × B ~ * )

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para resolvermos este exercício vamos precisar fazer algumas manipulações algébricas e calcularmos a média das duas funções através de uma integral. Só isso, bora láa!!!

Passo 2

Colocando as funções f e g na forma complexa, encontramos:

f ~ = A e i ( k → ∙ r → - ω t + δ a )

g ~ = B e i ( k → ∙ r → - ω t + δ b )

Onde A e B são números reais. Então:

f ~ g ~ * = A B e i ( k → ∙ r → - ω t + δ a ) e - i ( k → ∙ r → - ω t + δ b )

f ~ g ~ * = A B e i δ a - δ b

Portanto:

R e f ~ g ~ * = A B cos ⁡ δ a - δ b

Passo 3

Agora, calculamos a média das duas funções usando suas representações reais:

f g = 1 T ∫ 0 T f g d t

= A B T ∫ 0 T cos ⁡ ( k → ∙ r → - ω t + δ a ) cos ⁡ ( k → ∙ r → - ω t + δ b ) d t

= A B T ∫ 0 T cos ⁡ ( k → ∙ r → - ω t + δ a ) - s e n   k → ∙ r → - ω t s e n   ( δ a ) ∙ c o s   k → ∙ r → - ω t cos ⁡ δ b - s e n   k → ∙ r → - ω t s e n   ( δ b ) d t

Os termos que seriam multiplicação entre seno e cosseno, levam a integração a zero, então:

f g = A B T ∫ 0 T cos 2 ⁡ ( k → ∙ r → - ω t ) cos ⁡ δ b cos ⁡ δ a + s e n 2 k → ∙ r → - ω t s e n   δ b   s e n   δ a d t

Agora, substituindo:

cos 2 ⁡ x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x                   s e n 2   x = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x )

Porém, o cos ⁡ 2 x também leva a integral a zero no período T , logo:

f g = A B T 1 2 cos ⁡ δ b cos ⁡ δ a + s e n   δ b   s e n   δ a T

= A B 2 cos ⁡ δ b - δ a

Comparando a equação para R e f ~ g ~ * que achamos no passo 2, a identidade foi provada!!!

Resposta

Resolução nos passos anteriores.