Em notação complexa há um dispositivo engenhoso para descobrir a média temporal de um produto. Suponha que e . Mostre que , onde o asterisco denota o conjugado complexo. [Observe que isto só funciona se as duas ondas tiverem os mesmos e , mas não precisam ter a mesma amplitude ou fase.] Por exemplo,
e
Passo 1
Falaaa, tudo belezaa?? Para resolvermos este exercício vamos precisar fazer algumas manipulações algébricas e calcularmos a média das duas funções através de uma integral. Só isso, bora láa!!!
Passo 2
Colocando as funções e na forma complexa, encontramos:
Onde e são números reais. Então:
Portanto:
Passo 3
Agora, calculamos a média das duas funções usando suas representações reais:
Os termos que seriam multiplicação entre seno e cosseno, levam a integração a zero, então:
Agora, substituindo:
Porém, o também leva a integral a zero no período , logo:
Comparando a equação para que achamos no passo 2, a identidade foi provada!!!
Resposta
Resolução nos passos anteriores.