Observe o seguinte paralelo:

∇ ∙ D = 0 ,               ∇   × E = 0 ,             ϵ 0 E = D - P ,                 n ã o   h á   c a r g a   l i v r e ; ∇ ∙ B = 0 ,               ∇   × H = 0 ,             μ 0 H = B - μ 0 M ,   n ã o   h á   c o r r e n t e   l i v r e .

Assim, a transcrição D → B , E → H ,   P → μ 0 M ,   ϵ 0 → μ 0   torna um problema eletrostático em um problema magnetostática análogo. Use esta observação juntamente com seu conhecimento de resultados eletrostáticos para rededuzir

  1. O campo magnético dentro de uma esfera uniformemente magnetizada (equação 6.16)
  2. O campo magnético dentro de uma esfera de um material magnético linear em um campo magnético que inicialmente é uniforme (problema 6.18);
  3. O campo magnético médio sobre uma esfera, devido a correntes estacionárias dentro da esfera (equação 5.89).

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Para a letra (A) antes de começar a resolver a questão propriamente dita, temos que introduzir algumas relações, primeiramente podemos dizer que de acordo com a Eq. 4.14, temos que o campo elétrico dentro de uma esfera uniformemente polarizada é dado como:

E = - 1 3 ϵ 0 P

Agora que temos essa relação podemos mudar de E para H, de P para μ M e de ϵ 0   p a r a   μ 0 , assim, temos que:

H = - 1 3 μ 0 μ 0 M = - 1 3 M

Porém do enunciado, sabemos que:

B = μ 0 ( H + M )

Substituindo H que obtivemos, na expressão acima, temos que:

B = μ 0 - 1 3 M + M

Com isso conseguimos expressar o campo magnético dentro de uma esfera uniformemente polarizada, sendo:

B = 2 3 μ 0 M

Passo 2

Para a letra (B) antes de começar temos que introduzir algumas relações, a primeira é a relação do campo elétrico dentro de uma esfera de dielétrico linear em um campo elétrico uniforme, sendo:

E = 1 1 + χ e / 3   E 0

Agora para mudar de χ e para χ m , partimos da eq. 4.30 representada abaixo:

P = ϵ 0 χ e E

Mudando de E → H ,   P → μ 0 M ,   ϵ 0 → μ 0 , assim temos:

M = χ m H

Mudando de E para H na expressão do campo elétrico, temos que:

H = 1 1 + χ m / 3   H 0

Agora basta associar as equações 6.31 e 6.32 representadas respectivamente abaixo:

B = μ 0 ( 1 + χ m ) H

B 0 = μ 0 H 0

Usando as eq. 6.31 e 6.32 e Substituindo nas expressões de H   e   H 0 , temos que:

B μ 0 ( 1 + χ m ) = 1 1 + χ m / 3   B 0 μ 0  

B = ( 1 + χ m ) 1 + χ m / 3   B 0

Que é a expressão para o campo magnético dentro de uma esfera de um material magnético linear em um campo magnético que inicialmente é uniforme.

Passo 3

Para a letra (C) partiremos de uma equação da mesma maneira que fizemos nos casos anteriores, então temos que o campo elétrico médio fora da esfera é dado por

E m e d = - 1 4 π ϵ 0 p R 3  

Como no nosso caso não temos cargas livres então podemos considerar:

p = ∫ P d τ

Substituindo na expressão do campo elétrico médio, temos:

E m e d = - 1 4 π ϵ 0 1 R 3 ∫ P d τ

Agora podemos mudar para as relações dadas no enunciado: , E → H ,   P → μ 0 M ,   ϵ 0 → μ 0

H m e d = - 1 4 π μ 0 1 R 3 ∫ μ 0 M d τ

Sendo assim:

H m e d = - 1 4 π m R 3

Para finalizar temos que:

B = μ 0 ( H + M )

Substituindo os termos da expressão acima, temos que:

B m e d = μ 0 - 1 4 π m R 3 + M m e d

Mas M m e d = m 4 3 π R 3 , assim temos que B m e d é dado por:

B m e d = μ 0 - 1 4 π m R 3 + m 4 3 π R 3

Temos então que o campo magnético médio sobre uma esfera, devido a correntes estacionárias dentro da esfera é

B m e d = 2 μ 0 m 4 π R 3

Sendo assim, finalizamos mais uma questão! Até a próxima.

Resposta

Deduções realizadas nos passos acima.

a) B = 2 3 μ 0 M

b) B = ( 1 + χ m ) 1 + χ m / 3   B 0

c) B m e d = 2 μ 0 m 4 π R 3