Uma partícula carregada vindo de - ∞ ao longo do eixo x encontra uma barreira retangular de energia potencial

U x = U 0 ,                 s e   0 < x < L . 0 ,               c a s o   c o n t r á r i o .

Mostre que, devido à reação de radiação, a partícula pode tunelar através da barreira – ou seja: mesmo que a energia cinética incidente seja inferior a U 0 , a partícula pode atravessar. (Veja F. Denef et al., Phys. Ver. E 56, 3624 (1997).) [Dica: sua tarefa é resolver a equação

a = τ a ˙ + F m

sujeita à força

F x = U 0 [ - δ x + δ x - L ]

Consulte os problemas 11.19 e 11.28, mas observe que desta vez a força é uma função específica de x , não t . Há três regiões a considerar: (i) x < 0 , (ii) 0 < x < L , (iii) x > L . Encontre a solução geral (para a t ,   v t   e   x ( t ) ) em cada região, exclua a divergência exponencial na região (iii), e imponha as condições limite adequadas em x = 0 e x = L . Mostre que a velocidade final v f está relacionada ao tempo T gasto atravessando a barreira, pela equação

L= L = v f T - U 0 m v f τ e - T / τ + T - τ

e que a velocidade inicial (em x = - ∞ ) é

v i = v f - U 0 m v f 1 - 1 1 + U 0 m v f 2 e - T / τ - 1

Para simplificar estes resultados (já que o que estamos procurando é apenas um exemplo específico), suponha que a energia cinética final é a metade da altura da barreira. Mostre que, nesse caso

v i = v f 1 - L / v f τ

Particularmente se você escolher L = v f τ / 4 e depois v i = 4 / 3 v f , a energia cinética inicial será 8 / 9 U 0 , e a partícula conseguirá atravessar, mesmo que não tenha energia suficiente para passar por cima da barreira!]

Passo 1

Nossa tarefa é resolver a equação a = τ a ˙ + U 0 m - δ x + δ ( x - L ) , sujeitos às condições de limite

(1) x contínuo em x = 0 e x = L ;

(2) v contínuo em x = 0 e x = L ;

(3) ∆ a = ± U 0 / m τ v (mais em x = 0 , menos em x = L ).

∫ d v d t d t = τ ∫ d a d t d t + U 0 m ∫ - δ x + δ x - L d t

∆ v = τ ∆ a + U 0 m ∫ - δ x + δ ( x - L ) d t d x   d x = 0

∆ a = U 0 m τ ∫ 1 v - δ x + δ ( x - L ) d x = ± U 0 m τ v

Em cada uma das três regiões a força é zero (atua apenas em x = 0 e x = L ), e a solução geral é

a t = A e t / τ ; v t = A τ e t / τ + B ; x t = A τ 2 e t / τ + B t + C

(Vou colocar subscritos nas constantes A ,   B e C , para distinguir as três regiões.)

Região iii ( x > L ) : Para evitar o fugitivo, escolhemos A 3 = 0 ; em seguida, a ( t ) = 0 , v ( t ) = B 3 , x ( t ) = B 3 t + C 3 . Que a velocidade final seja v f   ( = B 3 ) , defina o relógio para que t = 0 quando a partícula estiver em x = 0 , e deixe T ser o tempo necessário para atravessar a barreira, então x ( T ) = L = v f T + C 3 e, portanto, C 3 = L - v f T . Então

a t = 0 ; v t = v f , x t = L + v f t - T , t < T .

Passo 2

Região (ii) 0 < x < L : a = A 2 e t / τ ,   v = A 2 τ e t / τ + B 2 ,   x = A 2 τ 2 e t / τ + B 2 t + C 2 .

(3) ⇒ 0 - A 2 e T τ = - U 0 m τ v f ⇒ A 2 = U 0 m τ v f e - T / τ .

(2) ⇒ v f = A 2 τ e T / τ + B 2 = U 0 m v f + B 2 ⇒ B 2 = v f - U 0 m v f .

(1) ⇒ L = A 2 τ 2 e T / τ + B 2 T + C 2 = U 0 τ m v f + v f T - U 0 T m v f + C 2 = v f T + U 0 m v f τ - T + C 2 ⇒

C 2 = L - v f T + U 0 m v f ( T - τ ) .

a t = U 0 m τ v f e t - T / τ ;

v t = v f + U 0 m v f e t - T / τ - 1 ;

x t = L + v f t - T + U 0 m v f τ e t - T / τ - t + T - τ ;

[Nota: se a barreira for suficientemente larga (ou alta) a partícula pode virar antes de chegar a L , mas estamos interessados aqui no régime onde ele faz túnel através.]

Em particular, para t = 0 (onde x = 0 ):

0 = L - v f T + U 0 m v f τ e - T τ + T - τ ⇒ L = v f T - U 0 m v f τ e - T / τ + T - τ

Passo 3

Região i x < 0 : a = A 1 e t / τ , v = A 1 τ e t / τ + B 1 , x = A 1 τ 2 e t / τ + B 1 t + C 1 . Tendo v i como a velocidade incidente (em t → - ∞ ); então B 1 = v i . A condição (3) diz que

U 0 m τ v f e - T / τ - A 1 = U 0 m τ v 0

onde v 0 é a velocidade da partícula quando ela passa por x = 0 . Da solução na região (ii), temos que

v 0 = v f + U 0 m v f e - T / τ - 1

Mas também podemos expressá-la em termos de solução na região (i):

v 0 = A 1 τ + v i

Portanto,

v i = v f + U 0 m v f e - T / τ - 1 - A 1 τ = v f + U 0 m v f e - T τ - 1 + U 0 m v 0 - U 0 m v f e - T / τ

= v f - U 0 m v f + U 0 m v 0 = v f - U 0 m v f 1 - v f v 0 = v f - U 0 m v f 1 - v f v f + U 0 / m v f e - T / τ   - 1

= v f - U 0 m v f 1 - 1 1 + U 0 / m v f 2 e - T / τ - 1

Se 1 2 m v f 2 = 1 2 U 0 , então

L = v f T - v f τ e - T τ + T - τ = v f T - τ e - T τ - T + τ = τ v f 1 - e - T τ ;

v i = v f - v f 1 - 1 1 + e - T τ - 1 = v f 1 - 1 + e T τ = v f e T / τ

Juntando isso,

L τ v f = 1 - e - T τ ⇒ e - T τ = 1 - L τ v f ⇒ e T τ = 1 1 - L / v f τ

Em particular, para L = v f τ / 4 ,

v i = v f 1 - 1 / 4 = 4 3 v f

Então,

K E i K E f = 1 2 m v i 2 1 2 m v f 2 = v i v f 2 = 16 9 ⇒ K E i = 16 9 K E f

= 16 9 1 2 U 0 = 8 9 U 0

Resposta

Ver passos 1, 2 e 3.