Uma partícula carregada vindo de ao longo do eixo encontra uma barreira retangular de energia potencial
Mostre que, devido à reação de radiação, a partícula pode tunelar através da barreira – ou seja: mesmo que a energia cinética incidente seja inferior a , a partícula pode atravessar. (Veja F. Denef et al., Phys. Ver. E 56, 3624 (1997).) [Dica: sua tarefa é resolver a equação
sujeita à força
Consulte os problemas 11.19 e 11.28, mas observe que desta vez a força é uma função específica de , não . Há três regiões a considerar: (i) , (ii) , (iii) . Encontre a solução geral (para ) em cada região, exclua a divergência exponencial na região (iii), e imponha as condições limite adequadas em e . Mostre que a velocidade final está relacionada ao tempo gasto atravessando a barreira, pela equação
L=
e que a velocidade inicial (em ) é
Para simplificar estes resultados (já que o que estamos procurando é apenas um exemplo específico), suponha que a energia cinética final é a metade da altura da barreira. Mostre que, nesse caso
Particularmente se você escolher e depois , a energia cinética inicial será , e a partícula conseguirá atravessar, mesmo que não tenha energia suficiente para passar por cima da barreira!]
Passo 1
Nossa tarefa é resolver a equação , sujeitos às condições de limite
(1) contínuo em e ;
(2) contínuo em e ;
(3) (mais em , menos em ).
Em cada uma das três regiões a força é zero (atua apenas em e ), e a solução geral é
; ;
(Vou colocar subscritos nas constantes e , para distinguir as três regiões.)
Região iii : Para evitar o fugitivo, escolhemos ; em seguida, , , . Que a velocidade final seja , defina o relógio para que quando a partícula estiver em , e deixe ser o tempo necessário para atravessar a barreira, então e, portanto, . Então
; , , .
Passo 2
Região (ii) .
(3) .
(2) .
(1)
.
;
;
[Nota: se a barreira for suficientemente larga (ou alta) a partícula pode virar antes de chegar a , mas estamos interessados aqui no régime onde ele faz túnel através.]
Em particular, para (onde ):
Passo 3
Região i: , , . Tendo como a velocidade incidente (em ); então . A condição (3) diz que
onde é a velocidade da partícula quando ela passa por . Da solução na região (ii), temos que
Mas também podemos expressá-la em termos de solução na região (i):
Portanto,
Se , então
Juntando isso,
Em particular, para ,
Então,
Resposta
Ver passos 1, 2 e 3.