Paul DeYoung, do Hope College, assinala que como os cilindros do Exemplo 8.4 são deixados em rotação (em velocidades angulares, digamos, ω a e ω b ), existe na realidade um campo magnético residual e, portanto, momento angular nos campos, mesmo depois que a corrente no solenoide foi extinta. Se os cilindros forem pesados, essa correção será desprezível, mas é interessante resolver o problema sem esse pressuposto.

(a) Calcule (em termos de ω a e ω b ) o momento angular final nos campos. (Defina ω = ω z ^ , então ω a e ω b poderiam ser positivos ou negativos.)

(b) Como os cilindros começam a girar, seus campos magnéticos variáveis induzem um campo elétrico azimutal extra que, por sua vez, dá uma contribuição adicional aos torques. Encontre o momento angular extra resultante e compare-o com seu resultado para (a).

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Para resolvermos este exercício, vamos precisar usar os parâmetros da figura abaixo:

Vamos para a resolução que irei definir cada equação conforme a solução. Bora láa!!!

Passo 2

Usando a lei de Ampere para determinar o campo magnético dentro do cilindro maior, e a espira que escolhemos é uma retangular, como pode ver na imagem acima:

∮ B ∙ d l = μ 0 I E n

A corrente envolvida será devido às cargas na superfície que se movem com velocidade angular ω b .

I E n = σ b v s = σ b ω b b s

Onde, σ b = - Q / 2 π b l . Logo, a lei de Ampere se torna:

B 1 s = μ 0 σ b ω b b s

B 1 = μ 0 σ b ω b b   z ^

O B 1 que definimos acima, é o campo magnético devido ao cilindro externo, em qualquer ponto dentro dele. a < r < b .

Pelo mesmo método, o campo produzido pelo cilindro interno dentro dele é:

B 2 = μ 0 σ a ω a a   z ^

Onde, σ a = Q / 2 π a l .

Sendo o campo total, então:

B = B 1 + B 2 = μ 0 Q 2 π a l ω a z ^ + μ 0 - Q 2 π b l ω b b   z ^

B = μ 0 Q 2 π l ω a - ω b z ^

Agora, para o campo elétrico, aplicando lei de Gauss descobrimos que só existe campo elétrico entre os dois cilindros e ele é dado por:

E = Q 2 π ϵ 0 r l r ^

Portanto, a densidade de momento é:

p e m = μ 0 ϵ 0 S

p e m = ϵ 0 Q 2 π ϵ 0 l r - μ 0 ω b Q 2 π b l r ^ × z ^

p e m = μ 0 ω b Q 2 4 π 2 l 2 r ϕ ^

Calculando a densidade de momento angular:

l = r × p e m

= μ 0 ω b Q 2 4 π 2 l 2 r ( r ^ × ϕ ^ )

l = μ 0 ω b Q 2 4 π 2 l 2 r z ^

Com isso, o momento angular total é a multiplicação da densidade de momento angular pelo volume total entre os dois cilindros:

L = μ 0 ω b Q 2 4 π 2 l 2 r z ^ π b 2 l - π a 2 l

L = μ 0 ω b Q 2 b 2 - a 2 4 π l z ^

Passo 3

O campo elétrico extra induzido pela mudança do campo magnético é dado por:

E = - 1 2 π s d Φ d t ϕ ^

Enquanto que o fluxo, é dado pela soma do fluxo do cilindro interno e da casca cilíndrica. Sendo definido por:

Φ = μ 0 Q 2 π l ω a - ω b π a 2 - μ 0 Q ω b 2 π l π ( r 2 - a 2 )

Φ = μ 0 Q 2 l ω a a 2 - ω b r 2

Substituindo o valor do fluxo no campo elétrico:

E a = - 1 2 π s μ 0 Q 2 l a 2 d ω a d t - r 2 d ω b d t ϕ ^

Então, no cilindro interno:

E a = - a μ 0 Q 4 π l d ω a d t - d ω b d t ϕ ^

No outro cilindro:

E b = - μ 0 Q 4 π b l a 2 d ω a d t - b 2 d ω b d t ϕ ^

Calculando o momento angular em cada cilindro:

L a = ∫ 0 ∞ - μ 0 Q 2 a 2 4 π l d d t ( ω a - ω b ) z ^ d t

L a = - μ 0 Q 2 a 2 4 π l ( ω a - ω b ) z ^

L b = ∫ 0 ∞ μ 0 Q 2 4 π l d d t ( a 2 ω a - b 2 ω b ) z ^ d t

L b = μ 0 Q 2 4 π l ( a 2 ω a - b 2 ω b ) z ^

Por fim, o momento angular extra total é:

L = L a + L b

L = - μ 0 Q 2 ω b 4 π l ( b 2 - a 2 ) z ^

Encontramos o mesmo resultado a letra (a), porém com sinal oposto!!

Resposta

  1. L = μ 0 ω b Q 2 b 2 - a 2 4 π l z ^
  2. L = - μ 0 Q 2 ω b 4 π l ( b 2 - a 2 ) z ^