Por um pedaço de fio dobrado na forma de espira, como mostra a Figura 10.5, passa uma corrente que aumenta linearmente com o tempo:

I t = k t   - ∞ < t < ∞

Calcule o potencial vetorial retardado A no centro. Encontre o campo elétrico no centro. Por que esse fio (neutro) produz um campo elétrico? (Por que você não pode determinar o campo magnético a partir desta expressão para A?)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, usaremos a letra l como a distância da fonte ao ponto de interesse. O potencial magnético é dado por esta expressão

A → = μ 0 4 π ∫ J → r → ' , t r l d V ' = μ 0 4 π ∮ I r → ' , t r l d l → ' = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

Onde essas integrais pertencem a pedaços de fio (1,2,3,4) como na imagem. Vamos fazer a integral I 1 primeiro

I 1 = μ 0 4 π ∫ 0 π I t r a d ϕ ϕ ^ a

Apenas a componente do campo potencial vetorial na direção das peças 2 e 4 (chame-a de direção x) sobreviverá à integração, então:

I 1 = μ 0 4 π ∫ 0 π I t r a d ϕ sen ⁡ ϕ a = μ 0 4 π ∫ 0   π k t - a c a sen ⁡ ϕ a d ϕ

Essa integral nos dá o seguinte resultado

I 1 = μ 0 k 2 π t - a c

A integral I 3 tem exatamente a mesma forma, mas de a → b e integramos na direção oposta, então:

I 3 = - μ 0 k 2 π t - b c

As duas estão na direção x.

Passo 2

Agora, nós vamos calcular as integrais I 2 e I 4 :

I 2 = μ 0 4 π ∫ a b k t - x c x   d x x ^ = μ 0 k 4 π x ^ ∫ a b t x - 1 c d x

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

I 2 = μ 0 4 π ∫ a b k t - x c x   d x x ^ = μ 0 k 4 π c x ^ c t ln ⁡ b a - b - a

E para a integral I 4 :

I 4 = I 2 = μ 0 k 4 π c x ^ c t ln ⁡ b a - b - a

Passo 3

Portanto, o potencial do vetor magnético total está na direção x e é igual a:

A → = μ 0 k 2 π t - a c - μ 0 k 2 π t - b c + μ 0 k 2 π c c t ln ⁡ b a - b - a x ^

Que nos fornece o seguinte resultado

A → = μ 0 k 2 π t ln ⁡ b a x ^

O campo elétrico é então:

E → = - ∂ A → ∂ t = μ 0 k 2 π ln ⁡ b a x ^

Resposta

A → = μ 0 k 2 π t ln ⁡ b a x ^

E → = - ∂ A → ∂ t = μ 0 k 2 π ln ⁡ b a x ^