(a) Qual o percentual de erro introduzido quando se usa a regra de Galileu, em vez da regra de Einstein, em v A B = 8   k m / h e v B C = 96   k m / h ?

(b) Suponha que você pode correr à metade da velocidade da luz pelo corredor de um trem que está a três-quartos da velocidade da luz. Qual seria a sua velocidade com relação ao solo?

(c) Prove, usando a Equação 12.3, que se v A B < c e v B C < c , então v A C < c . Interprete este resultado.

Passo 1

Para a letra (a) nós temos,

v G = v A B + v B C

v E = v A B + v B C 1 + v A B v B C c 2

≈ v G 1 - v A B v B C c 2 ⇒ v G - v E v G = v A B v B C c 2

Em k m / h ,

c = 3 × 10 8   k m / s × 3600   s 1   h   = 1,08 × 10 12   k m / h

∴ v G - v E v G = 8   k m / h 96   k m / h 1,08 × 10 12   k m / h 2

≈ 6,58 × 10 - 22 ⇒ 6,58 × 10 - 24   %   e r r o

(Muito pequeno)

Passo 2

(b)

1 2 c + 3 4 c 1 + 1 2 ∙ 3 4 = 5 4 c 11 8 = 10 11 c

(Ainda é menor que c )

Passo 3

(c) Para simplificar a notação,

β ≡ v A C c

β 1 ≡ v A B c

β 2 ≡ v B C c

Então, a equação 12.3 nos diz,

β = β 1 + β 2 1 + β 1 β 2

ou:

β 2 = β 1 2 + 2 β 1 β 2 + β 2 2 1 + 2 β 1 β 2 + β 1 2 β 2 2 = 1 + 2 β 1 β 2 + β 1 2 β 2 2 1 + 2 β 1 β 2 + β 1 2 β 2 2 - 1 + β 1 2 β 2 2 - β 1 2 - β 2 2 1 + 2 β 1 β 2 + β 1 2 β 2 2

= 1 - 1 - β 1 2 1 - β 2 2 1 + β 1 β 2 2 = 1 - ∆

Onde ∆ ≡ 1 - β 1 2 1 - β 2 2 / 1 + β 1 β 2 2 é claramente um número positivo. Então, β 2 < 1 , e, portanto, v A C < c .

Resposta

Ver Passos 1, 2 e 3.