O potencial elétrico de uma determinada configuração é dado pela expressão
onde e são constantes. Encontre o campo elétrico , a densidade de carga e a carga total .
Passo 1
Faaala, pessoaaal! Tudo tranquilo? Bora resolver essa. Para resolver essa questão, vamos ter que lembrar que o campo elétrico é o gradiente de um potencial escalar, fato que podemos tirar da versão diferencia da equação do potencial elétrico, que tem a seguinte forma:
Com isso, podemos substituir a expressão do potencial dada no enunciado na expressão do potencial:
Resolvendo a derivada, teremos:
E essa será a expressão para o campo elétrico.
Passo 2
Para encontrar a densidade volumétrica de carga, devemos lembrar da seguinte equação para o campo elétrico :
Isolando a variável nessa equação, teremos:
Substituindo pela expressão encontrada anteriormente, termos:
Nesse ponto, devemos lembrar de algumas relações. A primeira é que:
E a segunda é que:
Utilizando essas relações, teremos:
Com isso, teremos que:
Substituindo na equação da densidade, ficaremos com:
Passo 3
Por fim, encontraremos a expressão da carga total . Para isso basta lembrarmos da seguinte equação:
Aplicando a expressão obtida anteriormente para a densidade volumétrica de carga nessa equação, teremos:
Resolvendo aquela última integral que sobrou, vamos chegar ao seguinte resultado:
Substituindo o resultado da integral na expressão anterior da carga, teremos:
Portanto, a nossa carga será igual a 0:
E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊