O potencial elétrico de uma determinada configuração é dado pela expressão

V r = A e - λ r r           ,

onde A e λ são constantes. Encontre o campo elétrico E ( r ) , a densidade de carga ρ ( r ) e a carga total Q .

Passo 1

Faaala, pessoaaal! Tudo tranquilo? Bora resolver essa. Para resolver essa questão, vamos ter que lembrar que o campo elétrico é o gradiente de um potencial escalar, fato que podemos tirar da versão diferencia da equação do potencial elétrico, que tem a seguinte forma:

E =   - ∇ V

Com isso, podemos substituir a expressão do potencial dada no enunciado na expressão do potencial:

E =   - A ∂ ∂ r e - λ r r

Resolvendo a derivada, teremos:

E =   - A r - λ e - λ r - e - λ r r 2 r ^ = A e - λ r 1 + λ r r ^ r 2  

E = A e - λ r 1 + λ r r ^ r 2

E essa será a expressão para o campo elétrico.

Passo 2

Para encontrar a densidade volumétrica de carga, devemos lembrar da seguinte equação para o campo elétrico E :

∇ E = ρ ϵ 0

Isolando a variável ρ   ( d e n s i d a d e   d e   c a r g a ) nessa equação, teremos:

ρ = ∇ E ϵ 0

Substituindo E pela expressão encontrada anteriormente, termos:

ρ   = ϵ 0 A e - λ r 1 + λ r ∇   . r ^ r 2 + r ^ r 2 . ∇ e - λ r 1 + λ r

Nesse ponto, devemos lembrar de algumas relações. A primeira é que:

∇   . r ^ r 2 = 4 π δ 3 ( r )

E a segunda é que:

f x δ x = f 0 δ ( x )

Utilizando essas relações, teremos:

∇ . e - λ r 1 + λ r = r ^ ∂ ∂ r e - λ r 1 + λ r

= r ^ - λ e - λ r 1 + λ r + e - λ r λ = r ^ ( - λ 2 r e - λ r )

Com isso, teremos que:

r ^ r 2 . ∇ e - λ r 1 + λ r = - λ 2 r e - λ r

Substituindo na equação da densidade, ficaremos com:

ρ   = ϵ 0 A 4 π δ 3 r - λ 2 r e - λ r

Passo 3

Por fim, encontraremos a expressão da carga total Q . Para isso basta lembrarmos da seguinte equação:

Q = ∫ ρ   d τ

Aplicando a expressão obtida anteriormente para a densidade volumétrica de carga nessa equação, teremos:

Q = ϵ 0 A 4 π ∫ δ 3 r d τ - λ 2 ∫ e - λ r r   4 π r 2     = ϵ 0 A 4 π - λ 2 4 π ∫ 0 ∞ r e - λ r d r      

Resolvendo aquela última integral que sobrou, vamos chegar ao seguinte resultado:

∫ 0 ∞ r e - λ r d r = 1 λ 2

Substituindo o resultado da integral na expressão anterior da carga, teremos:

Q = ϵ 0 A 4 π - λ 2 4 π 1 λ 2 = 4 π ϵ 0 A 1 - λ 2 λ 2 = 4 π ϵ 0 A 1 - 1 = 0        

Portanto, a nossa carga será igual a 0:

Q = 0

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

E = A e - λ r 1 + λ r r ^ r 2

ρ   = ϵ 0 A 4 π δ 3 r - λ 2 r e - λ r

Q = 0