O potencial na superfície de uma esfera (raio R ) é dado por

V 0 = k c o s   3 θ       ,

Onde k é uma constante. Encontre o potencial dentro e fora da esfera, bem como a densidade superficial σ ( θ ) na esfera. (Assuma que não há carga dentro ou fora da esfera.)

Passo 1

Faaaala, galera! Bora pra mais uma. Galera, o enunciado já nos dá uma expressão para V 0 mas podemos utilizar a seguinte identidade trigonométrica para reescreve-la:

cos ⁡ 3 θ = 4 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ

Reescrevendo a expressão de V 0 , teremos:

V 0 θ = k 4 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ

Agora vamos reescreve-la em termos dos polinômios de Legendre:

V 0 θ = k α P 3 cos ⁡ θ + β P 1 cos ⁡ θ

As expressões dos polinômios de Legendre são:

P 1 cos ⁡ θ = cos ⁡ θ  

P 3 ( cos ⁡ θ ) = 1 2 5 cos 3 ⁡ θ   - 3 cos ⁡ θ

Substituindo na expressão de V 0 :

V 0 =   k   α 1 2 5 cos 3 ⁡ θ   - 3 cos ⁡ θ + β cos ⁡ θ

Agora para encontrar os termos α e β compararemos a nova expressão de V 0 com a obtida anteriormente:

4 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ = α 1 2 5 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ + β cos ⁡ θ = 5 α 2 cos 3 ⁡ θ + β - 3 2 α cos ⁡ θ       ,

Resolvendo, teremos:

4 = 5 α 2   → α = 8 5

- 3 = β - 3 2 α = β - 3 2   . 8 5 = β - 12 5

- 3 = β - 12 5

β = - 3 5

Portanto V 0 será dado por:

V 0 θ = k 5 [ 8 P 3 cos ⁡ θ ) - 3 P 1 cos ⁡ θ

A expressão geral para o potencial é dada por:

V r , θ = ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( cos ⁡ θ ) ,                   p a r a   r ≤ R ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1 P l ( cos ⁡ θ ) ,                 p a r a   r ≥ R  

Para encontrar os coeficientes A l , faremos:

A l = ( 2 l + 1 ) 2 R l   ∫ 0 π V 0 θ P l ( cos ⁡ θ ) s e n   θ d θ

Substituindo V 0 :

A l =   ( 2 l + 1 ) 2 R l k 5 8   ∫ 0 π P 3 ( cos ⁡ θ ) P l ( cos ⁡ θ ) s e n   θ d θ -   3 ∫ 0 π P 1 ( cos ⁡ θ ) P l ( cos ⁡ θ ) s e n θ d θ

= k 5   ( 2 l + 1 ) 2 R l 8 2 2 l + 1 δ l 3 - 3 2 2 l + 1   δ l 1 = k 5 1 R l 8 δ l 3 - 3 δ l 1

Portanto:

A l =   8 k 5 R 3 ,             p a r a   l = 3 - 3 k 5 R   ,             p a r a   l = 1

Logo:

V r , θ = - 3 k 5 R r P 1 ( cos ⁡ θ ) + 8 k 5 R 3 r 3 P 3 ( cos ⁡ θ ) = k 5 8 r R 3 P 3 cos ⁡ θ - 3 r R P 1 cos ⁡ θ     ,

Ou

k 5 8 r R 3 1 2 5 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ - 3 r R c o s θ

Portanto o potencial para r ≤ R , será:

V r , θ = k 5 r R cos ⁡ θ 4 r R 2 5 cos 2 ⁡ θ - 3 - 3

Agora para calcularmos o potencial para r ≥ R calcularemos os coeficientes B l :

Da continuidade de V em R , vamos ter que B l = A l R 2 l + 1 , portanto:

B l =   8 k R 4 5 ,               p a r a   l = 3 - 3 k R 2 5   ,           p a r a   l = 1

Logo o potencial para r ≥ R será:

V r , θ = - 3 k R 2 5 1 r 2 P l cos ⁡ θ + 8 k R 4 5 1 r 4 P 3 cos ⁡ θ    

= k 5 8 R r 4 P 3 cos ⁡ θ - 3 R r 2 P 1 cos ⁡ θ

Ou:

V r , θ = k 5 R r 2 cos ⁡ θ 4   R r 2 5 cos 2 ⁡ θ - 3 - 3

Passo 2

Agora, para a densidade superficial na esfera teremos a seguinte expressão:

σ θ =   ϵ 0 ∑ l = 0 ∞ 2 l + 1 A l R l - 1 P l ( cos ⁡ θ ) =   ϵ 0 [ 3 A 1 P 1 + 7 A 3 R 2 P 3 ]  

Aplicando os valores dos coeficientes A l :

=   ϵ 0 3 - 3 k 5 R P 1 + 7 8 k 5 R 3 R 2 P 3 = ϵ 0 k 5 R [ - 9 P 1 cos ⁡ θ ) + 56 P 3 cos ⁡ θ      

Substituindo os polinômios:

= ϵ 0 k 5 R [ - 9 cos ⁡ θ + 56 2 5 cos 2 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ ) =   ϵ 0 k 5 R cos ⁡ θ - 9 + 28   . 5 cos 2 ⁡ θ - 28   .   3

=   ϵ 0 k 5 R c o s θ 140 cos 2 ⁡ θ - 93

Portanto a densidade superficial de carga σ ( θ ) será:

σ θ = ϵ 0 k 5 R c o s θ 140 cos 2 ⁡ θ - 93  

E aqui finalizamos a questão, pessoal! Até a próxima 😉

Resposta

V r , θ = k 5 r R cos ⁡ θ 4 r R 2 5 cos 2 ⁡ θ - 3 - 3               p a r a   r ≤ R

V r , θ = k 5 R r 2 cos ⁡ θ 4   R r 2 5 cos 2 ⁡ θ - 3 - 3               p a r a   r ≥ R

σ θ = ϵ 0 k 5 R c o s θ 140 cos 2 ⁡ θ - 93