O potencial na superfície de uma esfera (raio ) é dado por
Onde é uma constante. Encontre o potencial dentro e fora da esfera, bem como a densidade superficial na esfera. (Assuma que não há carga dentro ou fora da esfera.)
Passo 1
Faaaala, galera! Bora pra mais uma. Galera, o enunciado já nos dá uma expressão para mas podemos utilizar a seguinte identidade trigonométrica para reescreve-la:
Reescrevendo a expressão de , teremos:
Agora vamos reescreve-la em termos dos polinômios de Legendre:
As expressões dos polinômios de Legendre são:
Substituindo na expressão de :
Agora para encontrar os termos e compararemos a nova expressão de com a obtida anteriormente:
Resolvendo, teremos:
Portanto será dado por:
A expressão geral para o potencial é dada por:
Para encontrar os coeficientes , faremos:
Substituindo :
Portanto:
Logo:
Ou
Portanto o potencial para , será:
Agora para calcularmos o potencial para calcularemos os coeficientes :
Da continuidade de em , vamos ter que , portanto:
Logo o potencial para será:
Ou:
Passo 2
Agora, para a densidade superficial na esfera teremos a seguinte expressão:
Aplicando os valores dos coeficientes :
Substituindo os polinômios:
Portanto a densidade superficial de carga será:
E aqui finalizamos a questão, pessoal! Até a próxima 😉