No problema 2.25 você encontrou o potencial em um eixo de um disco uniformemente carregado:
a) Use isto, justamente com o fato de . Para calcular os primeiros três termos da expansão (3.72) para o potencial do disco do eixo, assumindo que .
b) Encontre o potencial para pelo mesmo método, usando (3.66). [: você precisa quebrar a região interior em dois hemisférios, acima e abaixo do disco. assuma que os coeficientes são os mesmos em ambos os hemisférios.]
Passo 1
a) Faala, galera! Bora resolver essa questãozinha. O problema nos pede para calcular os 3 primeiros termos da seguinte expressão:
Para o potencial do disco fora do eixo assumindo que .
Como o enunciado nos da o valor de , vamos usar esse valor para comparar com a expressão acima para :
Como
Teremos:
Como o enunciado nos deu que :
Como temos que na região em questão, vamos ter:
Substituindo na equação:
Agora, vamos fazer a expansão binomial do lado direito da equação:
A expansão binomial ficará da seguinte forma:
Portanto:
Agora vamos expandir a série á esquerda da equação e comparar os dois lados para determinar os 3 primeiros coeficientes:
Comparando os termos com , vamos encontrar os seguintes termos para a expansão:
Portanto, a expressão para o potencial do disco fora do eixo com , será:
Ou evidenciando o polinômio de Legendre:
Passo 2
b) Agora encontraremos o potencial para utilizando a seguinte expressão:
Agora, vamos dividir a região em duas, hemisfério norte e hemisfério sul. Para o hemisfério norte, teremos:
Vamos novamente comparar a expressão em série do potencial com a expressão dada no enunciado:
Lembrando que para , logo:
Novamente, teremos que:
Substituindo na equação:
Expandido o lado esquerdo:
Comparando os termos com , teremos os seguintes termos:
Agora basta substituirmos na expressão do potencial:
E finalmente, faremos o mesmo procedimento para o hemisfério sul, em que teremos . Nesse caso e a expressão para o potencial, será:
Repetindo o mesmo procedimento feito para o hemisfério norte:
Substituindo na equação:
Expandido o lado esquerdo:
Comparando os termos com , teremos os seguintes termos:
Agora basta substituirmos na expressão do potencial:
E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊
Resposta
a)
b)