No problema 2.25 você encontrou o potencial em um eixo de um disco uniformemente carregado:

V r , 0 = σ 2 ϵ 0   r 2 + R 2 - r .

a) Use isto, justamente com o fato de P l 1 = 1 . Para calcular os primeiros três termos da expansão (3.72) para o potencial do disco f o r a   do eixo, assumindo que r > R .

b) Encontre o potencial para r < R pelo mesmo método, usando (3.66). [ O b s e r v e : você precisa quebrar a região interior em dois hemisférios, acima e abaixo do disco. N ã o assuma que os coeficientes A l são os mesmos em ambos os hemisférios.]

Passo 1

a) Faala, galera! Bora resolver essa questãozinha. O problema nos pede para calcular os 3 primeiros termos da seguinte expressão:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   P l ( cos ⁡ θ )

Para o potencial do disco fora do eixo assumindo que r > R .

Como o enunciado nos da o valor de V ( r , 0 ) , vamos usar esse valor para comparar com a expressão acima para θ = 0 :

Como

cos ⁡ 0 = 1

Teremos:

V r , 0 = ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   P l ( 1 )  

Como o enunciado nos deu que P l 1 = 1 :

V r , 0 = ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   =   σ 2 ϵ 0 r 2 + R 2 - r  

Como temos que r > R na região em questão, vamos ter:

r 2 + R 2 = r 1 + R r 2 = r 1 + R 2 r 2 1 2

Substituindo na equação:

V r , 0 = ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   =   σ 2 ϵ 0 r 2 + R 2 - r   =   σ 2 ϵ 0 r 1 + R 2 r 2 1 2 - r

∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   =   σ 2 ϵ 0 r 1 + R 2 r 2 1 2 - r

Agora, vamos fazer a expansão binomial do lado direito da equação:

r 1 + R 2 r 2 1 2 - r = r 1 + R 2 r 2 1 2 - 1

A expansão binomial ficará da seguinte forma:

r 1 + R 2 r 2 1 2 - 1 = r 1 + 1 2 R r 2 - 1 8 R r 4 + … - 1

Portanto:

∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   =   σ 2 ϵ 0 r 1 + 1 2 R r 2 - 1 8 R r 4 + … - 1

∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   =   σ 2 ϵ 0 R 2 2 r - R 4 8 r 3 + …

Agora vamos expandir a série á esquerda da equação e comparar os dois lados para determinar os 3 primeiros coeficientes:

B 0 r + B 1 r 2 + B 2 r 3 + … = σ 2 ϵ 0   R 2 2 r -   σ 2 ϵ 0 R 4 8 r 3

Comparando os termos com r , vamos encontrar os seguintes termos para a expansão:

B 0 = σ R 2 4 ϵ 0

B 1 = 0

B 2 = σ R 4 16 ϵ 0

Portanto, a expressão para o potencial do disco fora do eixo com r > R , será:

V r , θ = σ R 2 4 ϵ 0 1 r - R 2 4 r 3 P 2 cos ⁡ θ + …    

Ou evidenciando o polinômio de Legendre:

V r , θ = σ R 2 4 ϵ 0 r 1 - 1 8 R r 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 + …    

Passo 2

b) Agora encontraremos o potencial para r < R utilizando a seguinte expressão:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( cos ⁡ θ )

Agora, vamos dividir a região em duas, hemisfério norte e hemisfério sul. Para o hemisfério norte, teremos:

0 ≤ θ ≤ π 2

Vamos novamente comparar a expressão em série do potencial com a expressão dada no enunciado:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( cos ⁡ θ ) =   σ 2 ϵ 0   r 2 + R 2 - r

Lembrando que para θ = 0 → P l 1 = 1 , logo:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ A l r l ( cos ⁡ θ ) =   σ 2 ϵ 0   r 2 + R 2 - r

Novamente, teremos que:

r 2 + R 2 = R 1 + r R 2 = R 1 + 1 2 r R 2 - 1 8 r R 4 + …

Substituindo na equação:

∑ l = 0 ∞ A l r l ( cos ⁡ θ ) =   σ 2 ϵ 0 R + 1 2 r R 2 - 1 8 r R 4 + … - r

Expandido o lado esquerdo:

A 0 + A 1 r 1 + A 2 r 2 = σ 2 ϵ 0 R + σ 2 ϵ 0 1 2 r R 2 - σ 2 ϵ 0   1 8 r R 4 + … - σ 2 ϵ 0 r

Comparando os termos com r , teremos os seguintes termos:

A 0 = σ 2 ϵ 0 R  

A 1 = - σ 2 ϵ 0 r  

A 2 = σ 4 ϵ 0 r 2 R  

Agora basta substituirmos na expressão do potencial:

V r , θ = σ 2 ϵ 0 R - r P 1 cos ⁡ θ + 1 2 R   P 2 cos ⁡ θ + …  

V r , θ = σ R 2 ϵ 0 1 - r R cos ⁡ θ + 1 4 r R 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 + …

E finalmente, faremos o mesmo procedimento para o hemisfério sul, em que teremos θ = π . Nesse caso P l - 1 = - 1 l e a expressão para o potencial, será:

V r ,   π =   ∑ l = 0 ∞ - 1 A l r l =   σ 2 ϵ 0 r 2 + R 2 - r

Repetindo o mesmo procedimento feito para o hemisfério norte:

r 2 + R 2 = R 1 + r R 2 = R 1 + 1 2 r R 2 - 1 8 r R 4 + …

Substituindo na equação:

∑ l = 0 ∞ - 1 l A l r l ( cos ⁡ θ ) =   σ 2 ϵ 0 R + 1 2 r R 2 - 1 8 r R 4 + … - r

Expandido o lado esquerdo:

- A 0   -   A 1 r 1 -   A 2 r 2 = σ 2 ϵ 0 R + σ 2 ϵ 0 1 2 r R 2 - σ 2 ϵ 0   1 8 r R 4 + … - σ 2 ϵ 0 r

Comparando os termos com r , teremos os seguintes termos:

A 0 = - σ 2 ϵ 0 R  

A 1 = - σ 2 ϵ 0 r  

A 2 = σ 4 ϵ 0 r 2 R  

Agora basta substituirmos na expressão do potencial:

V r , θ = σ 2 ϵ 0 R + r P 1 cos ⁡ θ + 1 2 R r 2   P 2 cos ⁡ θ + …  

V r , θ = σ R 2 ϵ 0 1 + r R cos ⁡ θ + 1 4 r R 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 + …

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

a)

V r , θ = σ R 2 4 ϵ 0 r 1 - 1 8 R r 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 + …    

b)

V r , θ = σ R 2 ϵ 0 1 - r R cos ⁡ θ + 1 4 r R 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 + …

V r , θ = σ R 2 ϵ 0 1 + r R cos ⁡ θ + 1 4 r R 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 + …